Моменты инерции тел простой формы

а) Точечная масса на невесомой нити.

I=mR2 поэтому где v=ωR – линейная скорость массы m

б) Тонкостенный (полый) цилиндр.

Вся масса находится на одном и том же расстоянии от оси вращения, поэтому I = mR2 и так же, как и в предыдущем примере, энергия вращения Eвр=mv2/2

в) Сплошной цилиндр

Его можно собрать из бесконечного числа бесконечно тонких цилиндров с моментом инерции dI = dm∙r2 (на рисунке заштрихован торец одного из таких цилиндров).Если длина цилиндра $l$, а его масса $m$, то легко видеть, что масса бесконечно тонкого цилиндра dm = m∙ dV/V, где dV - объем бесконечно тонкого цилиндра, V - объем всего цилиндра.

где dS - площадь торцевой поверхности (кольца) бесконечно тонкого

цилиндра, которую легко найти, умножив длину кольца 2πR на его

ширину dr.

(4)

При этом, как и раньше, интегрирование проводим по объему цилиндра.

Из этих расчётов видно, что момент инерции сплошного цилиндра вдвое меньше, чем у тонкостенного цилиндра, что легко понять, тaк как

масса здесь расположена в среднем ближе к оси. Энергия вращения:

г) Однородный стержень с осью вращения на конце.

Масса заштрихованного бесконечно короткого участка dm = m∙ dr/R, а его момент инерции dI = r2∙dm = =r2∙m∙dr/R.

д) Шар, вращающийся вокруг оси, проходящей через центр.

Без доказательства, приведём значение момента инерции шара.

В общем случае для тела произвольнои формы

где K - коэффициент, зависящий от формы тела, (точнее, от распределения массы по расстоянию от оси вращения), а v - линейная скорость наиболее удаленной точки.

Катящиеся тела.

Если тело катится без проскальзывания, то u = v, а его кинетическая

энергия может быть выражена формулой

K = 1 для тонкостенного цилиндра,

K = 1/2 для сплошного цилиндра,

K = 2/5 для шара.

Связь скорости тела с моментом инерции при его скатывании с наклонной плоскости.

По закону сохранения энергии   (5)   В этом уравнении 2 неизвестных - K и скорость v. Для того чтобы найти K, нужно придумать способ измерять скорость тела.

В этой работе скорость измеряется по дальности полета.

Дальность полета тела.

Тело падает с высоты у=Н-R+R cosα =H-R(1-cosα ) с начальной вертикальной скоростью v∙ sinα.

По горизонтали тело пролетает расстояние x=b-R∙sinα co cкоростью v∙cosα за время t=x/(v∙cosα ).

Подставив t и у в соотношение у=v∙sinα∙ t+gt²/2, получим скорость в момент отрыва тела от плоскости

Подставив v в закон сохранения энергии (5), получаем выражение K через измеряемые величины

(6)

При R<< H и R<< b в формуле (6) у=Н, x=b.

При α<<1 имеем приближенную формулу K=4hH/b²-1.

Измерения и расчеты

1. Измерив h и длину доски, рассчитать cosα и tgα .

2. Измерить радиусы тел, а затем рассчитать у для каждого тела.

3. Провести с каждым телом несколько опытов, в которых измерить b, найти его среднюю величину, а затем рассчитать x.

4. Рассчитать K и написать выражение для момента инерции каждого тела, используя полученное Вами экспериментальное значение коэффициента K. Сравнить результаты эксперимента с теорией. Подумать над причинами их несовпадения.

Ответьте на вопросы.

1. Вы скатываете сплошной цилиндр, тонкостенный цилиндр, шар и катушку по доске. Как распределятся скорости тел внизу доски?

Почему?

2. В формуле (5) не учтена работа сил трения качения. Как оно

влияет на результат исследования? Что больше, теоретический или

экспериментально определенный момент инерции?

3. Когда тело достигает края доски, прямолинейная траектория при достаточно большой скорости сменяется параболической. Каков радиус кривизны параболы в точке стыковки траекторий? Что произойдет, если радиус кривизны параболы R* в этой точке окажется меньше радиуса кривизны тела?

С какой кривой будет стыковаться прямой участок траектории? Завышено или занижено будет K и почему?

Каково должно быть неравенство между скоростью тела и его радиусом, чтобы оно могло оторваться от доски в момент выхода на край?

4. Тело соскальзывает с горки без трения, а тонкостенный цилиндр

скатывается с горки такого же размера без проскальзывания. Во сколько

раз отличаeтся время движения? Почему?

Контрольные вопросы

Для получения зачета, кроме всего прочего, Вам необходимо знать

вывод формул (1), (2), (3), (4), (5), (6) и определение (1'), а также

ответить на большинство вопросов раздела 8.

Лабораторная работа №10