Загальне рівняння динаміки

Д.11 Розрахунок характеристик руху механічної системи за допомогою загального рівняння динаміки

Механічна система (рис. 11.1 – 11.5) складається з вантажу 1 масою , двох шківів 2 і 3 з масами і , радіусами ступенів і , і , та радіусами інерції , відповідно і суцільного циліндри-чного катка 4 масою . На шків 2 або 3, діє постійний момент М. Вантаж 1, або каток 4, лежать на гладенькій горизонтальній або похилій площині з кутом нахилу чи до горизонталі. Тертя при русі вантажу 1 і ковзання при кочені катка 4 відсутні.Система розташована в вертикальній площині.

Визначити прискорення вантажу 1 і натяг троса, який до нього закріплений, якщо масою тросів і тертям в підшипниках шківів нехтуємо.

В остаточних розрахунках прийняти значення параметрів з таблиці 11.1 по варіантах.

Таблиця 11.1

В-т	кг	см		град.
				r2	R2	r3	R3	М	a	b

Приклад виконання завдання

Для механічної системи, яка наведена на рис. 11.6, задано: кг, кг, кг, кг, м, м, м, . Радіус інерції ступінчатого барабана 2 рівний м, коефіцієнт тертя ковзання тіла 3 по горизонтальній площині . Циліндричне тіло 4 котиться по похилій площині без тертя і без ковзання.

Визначити прискорення тіла 1 – , тіла 3 – , натяги тросів N₁ і N₃, до яких ці тіла прикріплені.

Рисунок 11.1

Рисунок 11.2

Рисунок 11.3

Рисунок 11.4

Рисунок 11.5

Рисунок 11.6

Розв’язання. Для розв’язування задачі використовуємо загальне рівняння динаміки:

(11.1)

Покажемо для всіх тіл механізму активні сили, напрямки прискорень, інерційні сили і віртуальні переміщення, що зображені на рис. 11.7.

Рисунок 11.7

Активні сили: .

Інерційні сили:

Віртуальні переміщення:

для тіла 1 – , для тіла 2 – , для тіла 3 – , для тіла 4 – і .

Складаємо загальне рівняння динаміки відповідно до формули (11.1).

(11.2)

В рівняння (11.2) не ввійшли сили і тому, що вони роботи не виконують. Виразимо віртуальні переміщення , , і через .

; .

Звідки:

, , , (11.3)

Моменти інерції тіл 2 і 4 відповідно рівні:

, . (11.4)

Знайдемо активні сили:

, , . (11.5)

Знайдемо інерційні сили:

, , , , .

Виразимо кутові прискорення і , а також прискорення і через .

; ,

тому , , .

Тоді інерційні сили матимуть вигляд:

, , ,

. (11.6)

Підставляємо активні сили (11.5), інерційні сили (11.6) і віртуальні переміщення (11.3) в рівняння (11.2)

Після спрощення і скорочення на одержуємо рівняння

звідки

.

Підставимо дані умови:

м/с².

м/с².

Для визначення натягів тросів, що прикріплені до тіл 1 і 3, застосовуємо принцип Даламбера.

Розглянемо сили, які діють на вантаж 1 і покажемо їх на рис. 11.8.

Згідно з принципом Даламбера

.

Проектуємо цю векторну рівність на вісь oy, отримаємо:

.

Звідки

.

Або:

.

Рисунок 11.8

Розглянемо сили, які діють на тіло 3, що зображено на рис. 11.9., на основі

принципу Даламбера

.

Проектуємо це рівняння на вісь ox.

.

Рисунок 11.9

Звідки:

.

Відповідь: a₁=8.43 м/с², N₃=26.4 н.

Рівняння Лагранжа 2-го роду