Мгновенного центра скоростей

а) Допустим, что известны прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигуры А и В (рис. 1). Тогда мгновенный центр скоростей фигуры определится как точка пересечения перпендикуляров к этим прямым, восставленным в точках А и В. Зная модуль скорости точки А и определив расстояние этой точки от мгновенного центра скоростей РА, находим угловую скорость плоской фигуры согласно зависимости (3):

.

Модуль скорости точки В можно определить из пропорциональности скоростей точек их расстояниям до мгновенного центра скоростей по формуле:

,

откуда ,

или при помощи угловой скорости фигуры согласно (3):

.

Скорость любой другой точки плоской фигуры определяется аналогично.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны к АВ, то для определения положения мгновенного центра скоростей должны быть известны модули скоростей обеих точек А и В (рис. 2, а и б).

Известно, что модули скоростей точек фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.:

.

Следовательно, концы скоростей точек А и В лежат на прямой, проходящей через мгновенный центр скоростей. Пересечение этой прямой с прямой АВ определяет мгновенный центр скоростей фигуры.

Если скорости точек А и В плоской фигуры равны, параллельны между собой и перпендикулярны к АВ (рис. 2, в)), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞). Очевидно, что в этом случае:

.

в) Если известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны и не перпендикулярны к АВ (рис. 3), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞). Очевидно, что и в этом случае:

.

Расстояние от всех точек плоской фигуры до мгновенного центра скоростей, в этом случае, равны между собой:

АР = ВР = …= ∞.

Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент геометрически равны:

г) На практике часто происходит движение плоской фигуры, при котором она катится без скольжения по некоторой неподвижной линии (рис. 4). В этом случае мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится в точке ее соприкосновения с линией. Действительно, при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения плоской фигуры по отношению к неподвижной кривой равна нулю, т. е. эта точка в данный момент времени является мгновенным центром скоростей.

1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. К кривошипу ОА, равномерно вращающемуся с угловой скоростью w_ОА = 4 с ^-1, прикреплен шатун АВ, соединенный с коромыслом ВС. ОА = r =0,5 м; АВ = 2r =1,0 м; ВС = r × Ö2, м, Ð ОАВ = 90°;Ð АВС = 45°. Определить для этого положения механизма скорость точки В шатуна, его угловую скорость, а также скорость точки Д, лежащей на середине шатуна АВ.

Задачу решим двумя способами, основанными на двух различных подходах (см. п. 2.1.).

Первый способ (основан на построении плана скоростей).

1) Определяем скорость точки А. v_A = w_OA × r = 4· 0,5 = 2 м/с. Так как точка А принадлежит к кривошипу, совершающему вращательное движение, направлен вектор скорости точки А по направлению стрелки w_OA перпендикулярно к кривошипу ОА,

2) Из произвольно выбранного полюса, точки Р, откладываем в масштабе вектор скорости точки А (отрезок ра).

3) Точка В принадлежит двум звеньям механизма: шатуну АВ, совершающему плоское движение и коромыслу ВС, совершающему вращательное движение. Относительно коромысла ВС нам известно направление скорости точки В (^ к ВС). Из полюса, точки р проводим линию перпендикулярную к коромыслу ВС.

4) По теореме о скоростях точек тела:

,

Из точки а плана скоростей проводим линию, перпендикулярную к шатуну АВ. На пересечении с проведенной ранее линией получим точку в плана скоростей. Тогда отрезок вр выразит скорость точки В, а отрезок ав – вращательную скорость шатуна АВ. Так как план скоростей представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник, из него можно легко найти модули искомых скоростей:

м/с,

м/с.

Угловая скорость .

Скорость точки Д определим из пропорции в соответствии с ее положением на звене АВ (см. рис. 5). Модуль скорости точки Д равен

Скорость точки Д на плане скоростей определяется отрезком рд.

Второй способ (основан на понятии мгновенного центра скоростей).

1) Построим мгновенный центр скоростей звена АВ, восстановив перпендикуляры к скоростям точек А и В. Получим DАВР прямоугольный и равнобедренный с углом 45° у основания. Определим стороны треугольника по известным углам и длине катета АВ:

АР = АВ = 2r = 1,0 м,

м.

2) Определим угловую скорость звена АВ в его вращательном движении относительно МЦС точки Р. Для этого скорость точки А разделим на расстояние АР:

.

Покажем направление w_АВ стрелкой относительно точки Р.

3) Определим модуль скорости точки В:

v_B = w_AB × BP = 2,0 × 1,41 = 2,82 м/с.

Направлен вектор скоростей точки В перпендикулярно к ВР по направлению стрелки w_АВ.

4) Определим модуль скорости точки Д:

v_Д = w_AB × ДP = 2,0 × 1,12 = 2,24 м/с.

Направлен вектор скоростей точки В перпендикулярно к ДР по направлению стрелки w_АВ.

Сравнение результатов решения задачи двумя способами показывает, что они идентичны.

Проиллюстрируем здесь также применение следствия из теоремы. Для скоростей точек А и В в проекции на звено АВ можно записать

Откуда

Данный результат также совпадает с полученным выше решением.

Задача 2.Цилиндр радиусом r = 0,4 м катится по плоскости без скольжения. Скорость точек его оси v_c = 0.4 м/с. Диск радиусом R = 0,5 м жестко соединен с цилиндром в сечении, где плоскость не препятствует его движению. Определить угловую скорость системы цилиндр-диск, а также скорости точек А, В, Д, Е, расположенных на двух перпендикулярных диаметрах диска.

Определяем угловую скорость диска как отношение скорости точки С к расстоянию от точки до МЦС (мгновенный центр скоростей находится в точке контакта цилиндра радиусом r с неподвижной поверхностью):

.

Далее решаем задачу двумя способами.

Первый способ (основан на теореме о скоростях точек тела).

Скорости точек А, В, Д, Е определяем, как геометрическую сумму скорости полюса (точки С) и вращательной скорости каждой из точек относительно полюса:

,

,

,

.

Так как расстояние от точек А, В, Д, Е до полюса одинаково и равно R, то модули вращательных скоростей будут равны между собой.

.

Направлены эти векторы перпендикулярно соответствующим радиусам (см. рис. 6). При сложении составляющих векторов скоростей точек В, Е видим, что они направлены друг к другу под прямым углом. Следовательно, результирующий вектор можно определить по правилу параллелограмма, а его модуль по теореме Пифагора:

,

.

Составляющие скоростей точек А и Д лежат на одной прямой, поэтому

модуль результирующего вектора скорости точки можно определить при

алгебраическом их сложении с учетом направления:

,

.

Знак «минус» у скорости точки А показывает направление вектора скорости этой точки, по отношению к скорости полюса.

Второй способ (основан на понятии мгновенного центра скоростей).

По направлению скорости точки С относительно МЦС точки Р определяем направление угловой скорости диска. Применение понятия «мгновенный центр скоростей» позволяет рассматривать плоскопараллельное движение твердого тела как мгновенное вращательное относительно оси, проходящей через МЦС. Угловая скорость диска в данной задаче уже определена, необходимо определить расстояния от точек А, В, Д, Е до точки Р (МЦС):

AP = R – r = 0,5 – 0,4 = 0,1 м,

ДP = R + r = 0,5 + 0,4 = 0,9 м,

.

Скорости точек по модулю и направлению определяем в соответствии с системой (3):

v_A = ω × AP = 1,0 × 0,1 = 0,1 м/c,

v_B = ω × BP = 1,0 × 0,64 = 0,64 м/c,

v_Д = ω × ДP = 1,0 × 0,9 = 0,9 м/c,

v_Е = ω × ЕP = 1,0 × 0,64 = 0,64 м/c.

Сравнение результатов решения задачи двумя способами показывает, что они идентичны.