Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­тии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru и Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru , не параллельные друг другу (рис.33). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru и Вb к вектору Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru , и будет мгновенным центром скоростей так как Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru . В самом деле, если допустить, что Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru , то по теореме о проекциях скоростей вектор Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru ) и ВР (так как Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru

Рис.33

Если теперь в момент времени Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru ,

так как Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru и т.д.

Из равенств, следует еще, что

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru

т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru и Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям).

3. Угловая скорость Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru .

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.34), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю ( Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru ), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru (рис.35,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru т. е. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru тела в этот момент времени, как видно равна нулю.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru

Рис.34 Рис.35

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru , то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 35,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru и Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru .

г) Если известны вектор скорости Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru , то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru (рис.35,б), можно найти как Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей - student2.ru .

Наши рекомендации