Основное уравнение динамики поступательного движения
Динамика −раздел механики,в котором изучается движение телпод действием приложенных сил. Основной задачей динамики являет-ся определение кинематического уравнения движения материальной точки, если известны , приложенные силы к ней со стороны окружаю-щих тел и начальные условия, положение и скорость тела в начальный момент времени.
В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые яв-ляются результатом обобщения опытных данных и теоретических сведений в области механики. Для формулировки законов динамики необходимо дать определение следующих динамических характери-стик: инертность, масса, импульс тела и сила.
Инертностью (или инерцией)называется свойство тела сохра-нить неизменным состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Количественной мерой инертности тел является инертная масса,а количественной мерой гравитационного взаимодействия яв-ляется гравитационной массы. К настоящему времени эксперимен-тально показано, что инертная и гравитационная массы с большой степенью точности совпадают, т. е. они эквивалентны. Этот фунда-ментальный закон природы называется принципом эквивалентности.
Масса −это физическая величина,являющаяся мерой инерци-онных и гравитационных свойств тела. Единицей массы в СИ являет-ся килограмм: [m] = кг . Масса − величина аддитивная, т. е. масса тела равна сумме масс всех частей этого тела.
Импульс тела (или количество движения)−это векторная фи-
зическая величина, равная произведению массы тела на его скорость
| p = mυ. | (2.1.1) | ||
| Единица измерения импульса в СИ − [ p ]= | кг×м | . | |
| с |
Сила −это векторная физическая величина,являющаяся мероймеханического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело деформируется или приобретает ускоре-
ние. Единица измерения силы в СИ − Ньютон [ F ]= кг× см2 =H . Сила,
приложенная к телу, считается заданной, если указаны ее точка при-ложения, направление действия и численное значение.
Первый закон Ньютона (или закон инерции),который формули-
руется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока действие со сто-роны других тел не выведут его из этого состояния. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциаль-ной.Рассмотрим две системы отсчета,двигающиеся друг относитель-но друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно будет двигаться с ускоре-нием. Получается, что в одной системе отсчета первый закон Ньютона выполняется , а в другой не выполняется. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямо-линейно и равномерно будет также инерциальной. Системы отсчета, по отношению к которым первый закон Ньютона не выполняется, на-зываются неинерциальными системами отсчета.
Второй закон Ньютона:ускорение тела прямо пропорциональ-но результирующей сил приложенных к нему и обратно пропорцио-нально его массе.
| r | F | r | |||||
| a | = | , | или | F = ma | (2.1.2) | ||
| m | |||||||
| r | r | ||||||
| Fr= m dυ= | d (mυ) | или Fr = dp . | (2.1.3) | ||||
| dt | |||||||
| dt | dt |
Скорость изменения импульса материальной точки равна действую-щей на нее силе. Уравнения (2.1.2) и (2.1.3) являются математическим выражением второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона позво-ляет решать основную задачу механики. Поэтому его называется ос-
новным уравнением динамики поступательного движения.
Третий закон Ньютона:сила,с которой одно тело действует надругое, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.
| F12= −Fr21 | (2.1.4) | |||||
| 2.2. Преобразования Галилея. Механический принцип отно- | ||||||
| сительности | Рассмотрим | две инерци- | ||||
| y | y′ | |||||
| альные системы XYZ (система К) | ||||||
| и X'Y'Z' (система К'), первая из | ||||||
| которых будет неподвижной, а | ||||||
| υ0 t | вторая движется | поступательно | ||||
| вдоль положительного направле- | ||||||
| y = y′ | ||||||
| ния оси 0X с постоянной скоро- | ||||||
| O | O′υ | стью υ0 . Найдем связь между ко- | ||||
| x | x′ | ординатами х, у, z некоторой точ- | ||||
| x | ||||||
| z = z′ | ки M в системе К и координатами | |||||
| z | z′ | x′ | х', у', | z'.той же точки в системе | ||
| К'. Если начать отсчет времени с | ||||||
| Рис. 2.2.1 | ||||||
| того момента, когда начала коор- | ||||||
| динат | обеих систем совпадали, |
то, как следует из рис. 2.2.1 в момент времени t координаты точки М в этих системах будут связаны соотношениями
| x' = x − υ0t, y' = y, z' = z, t' = t. | (2.2.1) |
Формулы (2.2.1) называются преобразованиями Галилея для ко-ординат и времени. Они могут быть представлены также в виде об-ратного преобразования:
| х = x' +υ0 t', y = y', z = z', t = t'. | (2.2.2) |
Из преобразований Галилея вытекает классический закон сло-жения скоростей. Продифференцировав соотношения (2.2.2) по вре-мени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к сис-темам отсчета К и К'
| ′ | , | ′ | ′ | ⇒ | r ′ | r | (2.2.3) | |
| υ x = υ x + υ0 | υ y = υy , | υz = υz | υ = υ + υ0 . |
Согласно векторному соотношению (2.2.3) скорость υ точки М относительно неподвижной системы координат (абсолютная) равна векторной сумме ее скорости υ' относительно подвижной системы (относительная) и скорости υ0 подвижной системы относительно не-подвижной (переносная).
Продифференцировав выражение (2.2.3) по времени t, получим
при условии, что υ0 = const
| ′ | ′ | ′ | ⇒ | r′ | . | (2.2.4) | |
| a x = ax , | a y = ay , | a z = az | a = a |
Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех систе-мах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальна, то и остальные будут инерциальными.
Так как масса в классической механике не зависит от скорости, то произведение массы тела на его ускорение во всех инерциальных системах будет одинаковым, т. е . вид второго закона Ньютона, описы-вающего движение тела, будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность выражения для закона Ньютона от-ражает тот факт, что все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых условиях. Другими словами − все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой. Это утверждение носит название принципа относитель-
ности Галилея (или механический принцип относительности).Он оз-
начает, что никакими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно установить покоится эта система или движется равно-мерно и прямолинейно. Принцип относительности справедлив не только для механических, но и для любых физических явлений.
Используя преобразования Галилея, можно показать, что отрез-ки длин (масштабы) и интервалы времени между двумя какими-либо событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
| l′ = x2′ − x1′ =( x2− υ0t )−( x1− υ0 t )= x2− x1= l . | (2.2.5) |
Понятие времени в классической механике является абсолют-ным, поэтому
| t ′ = t 2′ − t1′ = t 2− t1= t . | (2.2.6) |
Физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системе к другой, называются инвариантными. Следо-вательно, отрезки длин и интервалы времени являются инвариантами классической механики.