Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки. Импульс. Закон сохранения импульса

Импульс материальной точки, имеющей массу m и скорость – это вектор, равный произведению массы на скорость:

. (1.3.38)

Введем понятие замкнутой системы как совокупности материальных тел, включая и точечные массы, взаимодействующие друг с другом и не взаимодействующие с окружающими замкнутую систему телами. Для замкнутой системы существует несколько величин, связанных со скоростями входящих в нее тел, которые не изменяются с течением времени. Такие величины называют сохраняющимися.

Одной из сохраняющихся величин является полный импульс замкнутой системы, равный векторной сумме импульсов образующих ее точечных масс:

,

где – импульс, масса и скорость i-той материальной точки, а суммирование ведется по всем точкам замкнутой системы.

Таким образом, система называется замкнутой, если все внешние силы, действующие на систему, уравновешиваются ( ). Тогда имеет место закон сохранения импульса:

, (1.3.39)

то есть

Полный импульс замкнутой системы сохраняется.

Если, например, , то есть, сохраняется только проекция импульса на соответствующую ось.

Если частица взаимодействует с окружающими телами, то ее импульс будет изменяться с течением времени. Мерой такого изменения и, следовательно, характеристикой взаимодействия является сила, определяемая как

. (1.3.40)

Выражение (1.3.40) является основным уравнением динамики поступательного движения частицы и носит название второго закона Ньютона.

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 14. Импульс материальной точки массы 1 кг изменяется со временем по закону . Найти величину ускорения материальной точки через 1 секунду после начала движения. А = 2 кг×м/с⁴, В = 3 кг×м/с², С = 2 кг×м/с.

Дано: ;

А = 2 кг×м/с⁴, В = 3 кг×м/с², С = 2 кг×м/с;

m = 1 кг.

Найти: а.

Решение. Величину ускорения частицы найдем из второго закона Ньютона (1.3.40):

а = F/m,

причем модуль силы, аналогично (1.3.23), получим так:

, (1.3.41)

где F_x, F_y, F_z – проекции силы на оси координат, которые согласно (7.3), равны соответственно:

F_x = dp_x/dt, F_y = dp_y/dt, F_z = dp_z/dt. (1.3.42)

По условию задачи p_x = Аt³, p_y = Bt, p_z = C.

Тогда, согласно (7.5), имеем для проекций силы на оси координат:

F_x = dp_x/dt = d(Аt³)/dt = 3At² = 6 (Н),

F_y = dp_y/dt = d(Bt)/dt = B = 3 (Н),

F_z = dp_z/dt = d(C)/dt = 0.

Подставим полученные значения проекций силы в (1.3.41), а затем в (1.3.40):

F = (6² + 3²)^1/2 = 6,7 (Н).

а = 6,7 (м/с²).

Ответ: 6,7 м/с².

Пример 15. Два шара массами 2 кг и 3 кг движутся по плоскости без трения и проскальзывания со скоростями 4 м/с и 2 м/с соответственно. После неупругого удара найти скорость шаров, если а) первый шар догоняет второй; б) шары движутся навстречу друг другу.

Дано: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг,

v₁ = 4 м/с, v₂ = 2 м/с.

Найти: u.

Решение. а) Рассмотрим случай, когда шары движутся в одном направлении.

При неупругом ударе тела движутся вместе со скоростью, которую мы обозначим u.

v₁ v₂ u

m₁ m₂ m₁+ m₂ x

до удара после удара

Направление оси Оx выберем в направлении скоростей тел, как показано на рисунке. Система двух шаров является замкнутой по условию задачи, поэтому для нее будет выполняться закон сохранения импульса (1.3.39). Запишем его в проекции на ось Оx:

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁+ m₂) u,

откуда выразим скорость системы после удара:

u = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁+ m₂) = 2,8 (м/с).

б) Шары движутся навстречу друг другу:

v₁ v ₂ u

m₁ m₂ m₁+ m₂ x

до удара после удара

Предположим, что после удара шары будут двигаться в направлении движения первого шара до соударения. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Оx:

m₁v₁ – m₂v₂ = (m₁+ m₂) u, откуда u = (m₁v₁ – m₂v₂)/(m₁+ m₂) =

= 0,4 (м/с).

Ответ: 2,8 м/с; 0,4 м/с.

Пример 16. Радиус-вектор частицы массы 1 кг зависит от времени по закону , где А = 1 м/с³, В = 2 м/с, С = 3 м. Записать закон, по которому со временем изменяется вектор силы, действующей на частицу, и найти модуль скорости частицы через 1 секунду после начала движения.

Дано: ;

А = 1 м/с³, В = 2 м/с, С = 3 м,;

m = 1 кг.

Найти: , v.

Решение. Исходная формула для нахождения зависимости силы от времени – второй закон Ньютона (1.3.40):

= = =

= .

Модуль скорости частицы найдем из (1.3.23), используя (1.3.22):

= d(At³)/dt = 3At² = 3 (м/с),

= d(Bt)/dt = B = 2 (м/с),

= d(C)/dt = 0.

= (3² + 2²)^1/2 = 3,6 (м/с).

Ответ: = ; v = 3,6 м/с.