Основні властивості неперервних функцій

Перша теорема Больцано-Коші (теорема про обернення функції в нуль). Нехай функція неперервна на відрізку і на його кінцях значення функції мають різні знаки. Тоді існує точка така, що .

Доведення. Нехай для визначеності . Розділимо відрізок навпіл. Якщо , то теорема доведена. Якщо , то виберемо ту половину відрізка , на кінцях якої функція має значення різних знаків, і позначимо її . Розділимо відрізок навпіл. Якщо , то теорема доведена, в іншому випадку виберемо ту половину відрізка , на кінцях якої функція має значення різних знаків, та позначимо її . Якщо цей процес продовжувати необмежено, то або на якомусь -ому кроці значення функції в середині відрізка буде рівним нулю і тоді теорема доведена, або одержимо послідовність укладених відрізків

таких, що при і на кінцях кожного з відрізків функція має значення різних знаків, .

За теоремою про вкладені відрізки існує точка , яка належить кожному із відрізків і . Ураховуючи неперервність функції (зокрема в точці ), маємо .

Звідси одержуємо .

Друга теорема Больцано-Коші (теорема про проміжне значення). Нехай функція неперервна на відрізку і на кінцях цього відрізка приймає значення де . Тоді для будь-якого числа існує точка така, що .

Доведення. Нехай для визначеності . Розглянемо допоміжну функцію

. Ця функція неперервна на відрізку і

, .

За першою теоремою Больцано-Коші існує точка така, що . Але . Отже, , тобто .

Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Нехай функція неперервна на відрізку . Припустимо, що вона на відрізку не обмежена. Поділимо відрізок пополам і виберемо ту його частину, де функція не обмежена. Позначимо її . Відрізок також поділимо пополам і виберемо ту його частину, де функція не обмежена. Позначимо вибрану половину . Продовжуючи необмежено цей процес, одержимо послідовність укладених відрізків

таких, що при . За теоремою про вкладені відрізки існує точка , яка належить кожному із них і . За означенням границі послідовності для будь-якого числа >0 існує такий номер , що при з іншого боку, існує такий номер , що при . Нехай . Тоді при виконуються нерівності: , тобто всі відрізки , де попадають в інтервал . Таким чином, функція не обмежена в деякому -околі точки . Але це неможливо, оскільки функція неперервна на відрізку , а значить, неперервна і в точці , тобто в точці існує скінченна границя функції , а тому в околі цієї точки вона обмежена.

Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку своїх точних меж, тобто існують такі точки , що

.

Доведення. Нехай функція неперервна на відрізку . За першою теоремою Вейєрштрасса функція на відрізку обмежена. Отже, вона має точну верхню межу і точну нижню межу . Покажемо, що існує точка така, що . Припустимо, що в жодній точці відрізка функція не приймає значення, рівного , тобто для всіх точок . Складемо допоміжну функцію . Ця функція на відрізку неперервна, а тому обмежена. Отже, існує число таке, що для всіх .

Із цієї нерівності маємо: . Таким чином, – верхня межа функції на відрізку . Але це суперечить тому, що число - точна верхня межа цієї функції на відрізку . Звідси випливає, що зроблене припущення неправильне, тобто існує точка така, що .

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Зауваження. Точна верхня межа функції , неперервної на відрізку , називається її найбільшим (максимальним) значенням на цьому відрізку, а точна нижня межа – її найменшим (мінімальним) значенням. Різниця , де , називається коливанням функції на відрізку .

ЛЕКЦІЯ 14

2. Поняття рівномірної неперервності функції.

3. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

4. Теорема про неперервність оберненої функції.

1. Поняття рівномірної неперервності функції.

Нехай функція неперервна на деякому проміжку . Виберемо довільну точку . Тоді за означенням неперервності функції в точці для довільного числа знайдеться число таке, що нерівність виконуватиметься для всіх , що задовольняють умову .

Зрозуміло, що число залежить як від числа , так і від (див. рис. 10).

Виникає питання, чи існують неперервні функції, визначені на певних проміжках, такі, що для будь-якого числа знаходилося б , незалежне від , тобто, щоб було єдиним для довільного значення із проміжку визначення функції (залежне лише від ) і таким, що нерівність виконувалася б за умови .

Розв'язання цього питання приводить до поняття рівномірної неперервності функції.

Функція називається рівномірно неперервною на проміжку , якщо для будь-якого числа існує таке, що для довільних точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .