Основні методи інтегрування функцій

Застосування основних властивостей невизначеного інтеграла, а також табличних інтегралів складають основу метода безпосереднього інтегрування.

Приклад 5. Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Врахуємо, що Основні методи інтегрування функцій - student2.ru . Звідси, на підставі властивостей 4, 5 й табличних інтегралів 1. і 2., матимемо

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 6. Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Зауважимо спочатку, що Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Звідси, на підставі властивостей 4 і 5 й табличного інтеграла 1., матимемо

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 7.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Ураховуючи, що Основні методи інтегрування функцій - student2.ru на підставі властивості 5 й табличних інтегралів 1. і 3. матимемо

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 8. Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru Зауважимо, що Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Звідси, на підставі властивості 5 й табличних інтегралів 1. і 11., матимемо

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Як бачимо, мистецтво інтегрування полягає в умінні за допомогою властивостей невизначеного інтеграла перетворити підінтегральний вираз на „табличний”. Потрібно домогтися, щоб він став таким, як в одному із табличних інтегралів, або спочатку хоча б спростився. Для цього, крім методу безпосереднього інтегрування, застосовують інші методи.

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дає змогу звести обчислення даного інтеграла до знаходження табличного інтеграла. Цей спосіб називають методом заміни змінної або методом підстановки. Він базується на такій теоремі.

Теорема. Нехай функція Основні методи інтегрування функцій - student2.ru визначена й диференційовна на проміжку Т, а проміжок Х –множина її значень. Нехай функція Основні методи інтегрування функцій - student2.ru визначена на проміжку Х і має на ньому первісну Основні методи інтегрування функцій - student2.ru . Тоді на проміжку Т складена функція Основні методи інтегрування функцій - student2.ru є первісною функції Основні методи інтегрування функцій - student2.ru , тобто

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru (25)

Доведення. Згідно з правилом диференціювання складеної функції, враховуючи, що Основні методи інтегрування функцій - student2.ru , дістанемо

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Отже, функція Основні методи інтегрування функцій - student2.ru дійсно має на проміжку Т однією зі своїх первісних функцію Основні методи інтегрування функцій - student2.ru , тобто виконується співвідношення (25).

Оскільки Основні методи інтегрування функцій - student2.ru , то рівність (25) можна подати у вигляді

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru (26)

Рівність (26) називають формулою заміни змінної в невизначеному інтегралі.

Приклад 9.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

У підінтегральній функції зробимо заміну: Основні методи інтегрування функцій - student2.ru Вважаючи, що х і t – незалежні змінні, встановимо зв’язок між диференціалами: Основні методи інтегрування функцій - student2.ru Заміну і деякі наслідки, що з неї випливають, як правило, записують після інтеграла, який обчислюється, між двома вертикальними лініями:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 10.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 11.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 12.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 13.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Зручно зробити заміну Основні методи інтегрування функцій - student2.ru , оскільки Основні методи інтегрування функцій - student2.ru Отже, маємо:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 14. Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Введемо спочатку такі гіперболічні функції:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru (гіперболічний синус),

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru (гіперболічний косинус).

Легко перевірити, що

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

У підінтегральній функції зручно зробити таку заміну: Основні методи інтегрування функцій - student2.ru , оскільки Основні методи інтегрування функцій - student2.ru Тоді маємо:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 15.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Метод інтегрування за частинами.Нехай функції и(х) і v(x) визначені і диференційовні на деякому проміжку Х. Тоді справедлива така формула (формула інтегрування частинами):

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru (27)

Приклад 16.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Приклад 17.Обчислити Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Метод невизначених коефіцієнтів. Нехай дробово-раціональна функція Основні методи інтегрування функцій - student2.ru має степінь многочлена в чисельнику менший за степінь многочлена у знаменнику. Многочлен Основні методи інтегрування функцій - student2.ru має такий вигляд:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru де Основні методи інтегрування функцій - student2.ru – цілі числа і Основні методи інтегрування функцій - student2.ru – дійсні числа. Тоді дробово-раціональну функцію Основні методи інтегрування функцій - student2.ru можна єдиним чином представити у вигляді:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru (28)

Вираз (28) називається розкладом дробово-раціональної функції на прості дроби. Дійсні числа Основні методи інтегрування функцій - student2.ru – невідомі коефіцієнти цього розкладу.

Приклад 18. Обчислити інтеграл Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Розкладемо спочатку підінтегральну функцію на прості дроби. Згідно з формулою (28) маємо:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Знайдемо невідомі коефіцієнти розкладу, для чого перемножимо ліву і праву частину рівності на Основні методи інтегрування функцій - student2.ru :

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Прирівнюючи далі коефіцієнти, які стоять при однакових степенях х ліворуч і праворуч рівності, отримуємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Розв’язуючи її, знаходимо: Основні методи інтегрування функцій - student2.ru і Основні методи інтегрування функцій - student2.ru Отже, шуканий розклад є таким:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Після цього обчислюємо інтеграл:

Основні методи інтегрування функцій - student2.ru

Наши рекомендации