Закон сохранения момента импульса

Момент импульса (кинетический момент, момент количества движения) системы абсолютно твердых тел относительно некоторого неподвижного центра (точки) O – характеристика вращательного движения, равен векторной сумме моментов импульсов тел:

(65)

где – момент импульса i-го тела.

Если на систему абсолютно твердых тел не действуют моменты внешних сил или результирующий момент сил равен нулю, то момент импульса системы тел относительно точки O остается постоянным:

(66)

т. е. выполняется закон сохранения момента импульса.

Пусть абсолютно твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Oz, его момент инерции относительно этой оси – I_z . Тогда момент импульса тела относительно оси Oz (проекция вектора момента импульса на ось Oz) определяется по формуле:

(67)

где – проекция вектора угловой скорости тела на ось Oz.

Если результирующий момент внешних сил, действующих на систему тел, не равен нулю, но его проекция на некоторую ось (момент сил относительно оси) равна нулю, то остается постоянным момент импульса системы относи­тельно этой оси. Например, если система тел вращается вокруг неподвижной оси Oz и результирующий момент внешних сил относительно этой оси равен нулю, то момент импульса системы относительно оси вращения не меняется:

(68)

где L_zi и I_zi – моменты импульса и моменты инерции тел, входящих в систему, относительно оси Oz соответственно;

w_zi – проекции векторов угловой скорости тел на ось Oz.

Задачи

71.(1) Скамья Жуковского представляет собой горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. Человек с вытянутыми в стороны руками стоит в центре скамьи Жуковского, которая вращается с частотой 0,80 об/с. С какой частотой станет вращаться скамья с человеком, если человек прижмет руки к груди, изменив тем самым суммарный момент инерции системы в 1,2 раза?

72.(2) Горизонтально расположенная карусель в виде диска массой 5,0 кг и радиусом 60 см вращается с частотой 5,0 об/мин. На карусели лежит черепаха массой 1,0 кг. Край черепахи совпадает с краем карусели. С какой частотой станет вращаться система, если черепаха переползет в центр карусели? При расчетах черепаху считать диском радиусом 10 см.

73.(2) Карусель в виде однородного диска массой 160 кг радиусом 1,5 м вращается с частотой 1,0 об/с. В центре карусели стоит мальчик массой 35 кг. С какой частотой станет вращаться карусель, если мальчик со скоростью, направленной горизонтально вдоль радиуса карусели перейдет на ее край? При расчете момента инерции мальчика считать материальной точкой.

74.(2) Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень массой 3,1 кг и длиной 2,8 м, на концах которого закреплены шары. Центры шаров совпадают с концами стержня. Масса каждого шара равна 0,73 кг, радиус равен 15 см. При горизонтальном расположении стержня (когда центр стержня лежит на оси вращения) скамья вращается с частотой 0,80 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек расположит стержень вертикально вдоль оси вращения? Момент инерции человека и платформы равен 22 кг∙м².

75.(3) На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2,1 м, стоит человек. Масса платформы равна 200 кг, человека - 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 1,9 м/с относительно платформы. Рассмотреть случаи: 1) платформа первоначально покоилась; 2) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, а человек пошел в направлении вращения; 3) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, а человек пошел в направлении, противоположном направлению вращения.

76.(3) На тонком вертикальном стержне длиной 0,30 м и массой 0,20 кг зак-реплен шар массой 600 г и радиусом 0,030 м. Центр шара совпадает с концом стержня. Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Пуля массой 15 г, летящая со скоростью 200 м/с под углом 30° вниз к горизонту по направлению к центру шара, попадает в шар и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень после удара?