Работа 7. определение момента инерции твердых тел с помощью маятника максвелла

Цель работы - изучение маятника Максвелла и определение с его помощью момента инерции твердых тел.

Теоретические основы лабораторной работы

В данной лабораторной работе момент инерции твёрдых тел определяется экспериментально с помощью маятника Максвелла.

Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При этом диск на стержне поднимается вверх. Если не удерживать диск в верхнем положении, то возникает поступательное движение маятника вниз и его вращательное движение вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень. Диск снова поднимается вверх и движение повторяется, т.е. возникают колебания.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела величина аддитивная. Если мысленно представить тело состоящим из большого число весьма малых элементов Dm_i, то момент инерции такого дискретного тела приближённо определяется по формуле

Приближение тем точнее, чем больше количество разбиений тела на элементарные массы Dm_i.

При бесконечно большом значении числа элементарных масс i стремится к бесконечности, а Dm_i. стремится к нулю. Тогда момент инерции сплошного твёрдого тела (непрерывное распределение масс) определяется по формуле

= (1)

где r_i - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения.

Таким образом, задача нахождения момента инерции различных тел сводится к интегрированию по формуле (1) для соответствующего объёма тела.

При выводе расчётных формул использованы соотношения для моментов инерции тел, и закон сохранения полной механической энергии.

Учитывая, что момент инерции тела величина аддитивная, теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла J_т можно определить в виде суммы моментов инерции, полученных как результат интегрирования по формуле (1) для его трёх элементов: оси маятника, диска и кольца, надетого на диск

(2)

В формуле (2):

момент инерции оси маятника ;

момент инерции диска

момент инерции кольца, надетого на диск ;

здесь R_о, m₀, R_д, m_д, R_к, m_к - соответственно радиусы и массы оси, диска и кольца.

Кинетическая энергия маятника массой m, поднятого и зафиксированного на высоте h, равна нулю. Полная механическая энергия определяется только потенциальной энергией E_п = mgh.

В нижнем положении маятника E_п = 0, и полная механическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений

(3)

При таком движении модуль угловой скорости w, модуль линейной скорости u и радиус диска R связаны соотношением

(4)

Из закона сохранения следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е.

(5)

Отсюда, учитывая соотношение (4), момент инерции маятника

(6)

Для равнопеременного движения связь между расстоянием h, пройденным телом, величиной скорости u и временем t имеет вид

(7)

Подставляя последнее выражение в формулу (6), получим зависимость для определения экспериментального значения момента инерции

(8)

Формулу (8) можно вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения (см. лаб. работа 5).

Описание установки

Общий вид установки представлен на рис.2. В основании 1 закреплена колонка с электронным секундомером 2, к которой прикреплен неподвижно верхний кронштейн 9 и подвижный нижний кронштейн 7. На верхнем кронштейне находится электромагнит 10 и фотоэлектрический датчик 11, а на нижнем кронштейне – фотоэлектронный датчик 3.

Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные кольца 12, изменяя, таким образом, момент инерции системы.

Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик фиксирует момент начала движения маятника, а нижний - окончания движения (опускания) маятника.

Порядок выполнения работы

1. Надеть на диск маятника одно из колец.
2. Включить установку нажатием кнопки «сеть».
3. Установить ось маятника в горизонтальное положение.
4. Опустить нижний конец маятника примерно на 2 мм ниже оптической оси фотоэлектрического датчика. (Регулировка положения маятника осуществляется изменением длины нити или перемещением нижнего кронштейна на нужную высоту.)
5. Включить электромагнит (кнопка «Пуск» должна находиться в отжатом положении).
6. Намотать равномерно нить подвески на ось маятника до фиксации маятника электромагнитом в верхнем положении.
7. Измерить время падения маятника по электронному секундомеру, нажав кнопку «Сброс», а затем «Пуск».

8. Повторить пп.1-7 еще десять раз.