Определение момента инерции физического маятника

ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масстела точку С (рис. 2.1).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j, то составляющая силы тяжести уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (2.1)

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sinj » j, поэтому F_t » -mgj. Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

, (2.2)

где М – момент силы F_t относительно оси О, I – момент инерции маятника относительно оси О, – угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = F_t×l = –mgj×l, (2.3)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (2.2) уравнение (2.3) можно записать

(2.4)

или

, (2.5)

где .

Решением дифференциального уравнения (2.5) является функция, позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t,

j=j_0×cos(w₀t+a₀). (2.6)

Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний j₀, циклической частотой , начальной фазой a₀ и периодом, определяемым по формуле

, (2.7)

где L=I/(mg) – приведенная длина физического маятника, т. е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника. Формула (2.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси. Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (2.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 1).

В эксперименте исследуется физический маятник, называемый оборотным и представляющий собой тело, колеблющееся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести тела.

Оборотный маятник состоит из металлического стержня, на котором неподвижно укреплены опорные призмы О₁ и О₂ и две подвижные чечевицы А и B, которые могут закрепляться в определённом положении с помощью винтов (рис. 2.2).

Физический маятник совершает гармонические колебания при малых углах отклонения от положения равновесия . Период таких колебаний определяется соотношением (2.7)

,

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, m – масса маятника, d – расстояние от точки подвеса до центра масс, g – ускорение силы тяжести.

Применяемый в работе физический маятник имеет две опорные призмы О₁ и О₂ для подвешивания. Такой маятник называется оборотным.

Сначала маятник подвешивают на кронштейн опорной призмой О₁ и определяют период колебаний Т₁ относительно этой оси:

(2.8)

Затем маятник подвешивают призмой О₂ и определяют Т₂:

. (2.9)

Таким образом, моменты инерции I₁ и I₂ относительно осей, проходящих через опорные призмы О₁ и О₂, будут соответственно равны и . Масса маятника m и периоды колебаний Т₁ и Т₂ могут быть измерены с высокой степенью точности.

По теореме Штейнера

, (2.10)

, (2.11)

где I₀ – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, момент инерции I₀ можно определить,зная моменты инерции I₁ и I₂.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Снимите маятник с кронштейна, поместите его на трёхгранную призму так, чтобы расстояния от опоры до призм О₁ и О₂ не были равны между собой. Передвигая чечевицу вдоль стержня, установите маятник в положение равновесия, после чего закрепите чечевицу винтом.

2. Измерьте расстояние d₁ от точки равновесия (центр масс С) до призмы О₁ и d₂ – от С до призмы О₂.

3. Подвесив маятник опорной призмой О₁ , определите период колебаний , где N – число колебаний (не более 50).

4. Аналогичным образом определите период колебаний Т₂ относительно оси, проходящей через ребро призмы О₂ .

5. Подсчитайте моменты инерции I₁ и I₂ относительно осей, проходящих через опорные призмы О₁ и О₂, по формулам и , измерив массу маятника m и периоды колебаний Т₁ и Т₂. Из формул (2.10) и (2.11) определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести (масс) I₀. Из двух опытов найдите среднее < I₀ >.

6. Передвинув чечевицу А и найдя новое положение центра тяжести С, повторите опыт. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу (см. образец, табл.1).

Таблица 1