Принцип суперпозиции для потенциала электростатического поля

Потенциал поля точечного заряда q равен потенциальной энергии единичного точечного заряда q в данной точке поля:

. (2.3.5)

Потенциал электростатического поля системы точечных неподвижных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов поля каждого заряда в отдельности:

= j₁ + j₂+ j₃ + …+ j_n. (2.3.6)

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 3.Имеются два точечных заряда q₁=2 нКл, q₂ = 1 нКл, находящиеся на одной прямой на расстоянии r = 50 см друг от друга (по условию задачи заряд q₁расположен слева, заряд q₂ – справа). Найти потенциал электростатического поля в точке О, расположенной между зарядами на расстоянии 10 см от заряда q₂.

Дано: q₁ = 2 нКл = 2×10^–9 Кл,

q₂ = 1 нКл = 1×10^–9 Кл,

r = 50 см = 0,5 м,

r₂ = 10 см = 0,1 м.

Найти: j_рез.

Решение. Делаем рисунок, на котором указываем расположение зарядов и точку О, в которой будем находить потенциал поля данной системы зарядов:

q₁ q₂

А О В

По условию задачи и в соответствии с рисунком, АВ = r = 0,5 м; ОВ = r₂ = 0,1 м; АО = r₁ = 0,4 м.

Исходные формулы для расчета результирующего потенциала в точке О – формулы (2.3.5) и (2.3.6). В (2.3.5) подставим числовые данные:

= 45 В; = 90 В.

Используем формулу (2.3.6) для расчета результирующего потенциала:

= j₁ + j₂ = 135 В.

Ответ: j_рез = 135 В.

Пример 4.Имеются два точечных заряда q₁ =2 нКл,

q₂ = – 1 нКл, находящиеся на одной прямой на расстоянии r = 50 см друг от друга (по условию задачи заряд q₁расположен слева, заряд q₂ – справа). Найти потенциал электростатического поля в точке О, расположенной между зарядами на расстоянии 10 см от заряда q₂.

Дано: q₁ = 2 нКл = 2×10^–9 Кл,

q₂ = – 1 нКл = – 1×10^–9 Кл,

r = 50 см = 0,5 м,

r₂ = 10 см = 0,1 м.

Найти: j_рез.

Решение. Аналогично примеру 3, рассмотренному выше, делаем рисунок, на котором указываем расположение зарядов и точку О, в которой будем находить результирующий потенциал поля данной системы зарядов:

+ q₁ – q₂

А О В

По условию задачи и в соответствии с рисунком, АВ = r = 0,5 м; ОВ = r₂ = 0,1 м; АО = r₁ = 0,4 м.

Подставим числовые данные в формулу (2.3.5), а затем используем формулу (2.3.6) для получения окончательного ответа:

= 45 В; = – 90 В.

= j₁ + j₂ = – 45 В.

Ответ: j_рез = – 45 В.

Работа силы Кулона

При перемещении электрического заряда q в электрическом поле сила Кулона совершает над ним работу:

А_кул = q(j₁ – j₂), (2.3.7)

где j₁ и j₂ – потенциалы начальной и конечной точек поля соответственно.

В силу того, что сила Кулона является консервативной,

1) ее работа не зависит от траекторий, по которым перемещались заряды, а определяется лишь начальным и конечным положением этих зарядов;

2) при перемещении заряда по замкнутой траектории работа действующих на него кулоновских сил равна нулю;

3) работа кулоновских сил идет на изменение потенциальной энергии системы зарядов.

Пример 5.Два шарика с зарядами 6,7 и 13,3 нКл находятся на расстоянии 40 см друг от друга. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния 25 см?

Дано: q₁=6,7 нКл = 6,7×10^–9Кл,

q₂ = 13,3 нКл = 13,3×10^–9Кл,

r₁ = 40 см = 0,4 м,

r₂ = 25 см = 0,25 м.

Найти: А_вн.

Решение. В задачах такого типа удобно считать один из шариков неподвижным, образующим электрическое поле, а другой – движущимся в поле первого шарика. Пусть шарик с зарядом q₁ создает электрическое поле, а шарик с зарядом q₂ движется в этом поле из точки, находящейся на расстоянии r₁ = 0,4 м от шарика q₁, в точку, находящуюся на расстоянии r₂ = 0,25 м от него. Работа силы Кулона определяется выражением (2.3.7):

А_кул = q₂(j₁ – j₂).

Поле образовано точечным зарядом q₁, поэтому как исходную формулу для расчета потенциала поля точечного заряда мы используем формулу (2.3.5):

.

Поскольку в задаче надо найти не работу силы Кулона, а работу внешней силы А_вн, которая совершает работу против силы Кулона, то

А_вн = – А_кул = – q₂(j₁ – j₂) = q₂(j₂ – j₁). (2.3.8)

Теперь используем вышеприведенные формулы для нашего конкретного случая. Перепишем формулу (2.3.5) для заряда, создающего поле (это, как мы условились, заряд q₁), и найдем потенциалы в начальной и конечной точках поля:

; (2.3.9)

. (2.3.10)

Подставив формулы (2.3.9) и (2.3.10) в формулу (2.3.8), получим для работы внешней силы:

А_вн = q₂(j₂ – j₁) = q₂ – . (2.3.11)

После подстановки числовых данных в (2.3.11), получим окончательный ответ:

А_вн = 1,2×10^–6Дж = 1,2 мкДж

Ответ: 1,2 мкДж.