Диф. уравнение движения и баланса энергии для невязкой жидкости

При движении невязкой (идеальной) жидкости а так как идеальная жидкость — это жидкость, лишенная вяз­кости, в ней при движении не возникают силы внутреннего тре­ния и, как следствие, отсутствует рассеивание энергии. Таким образом, запас энергии в элементарной струйке по длине пото­ка жидкости постоянен.

В движущейся жидкости кроме объемных и поверхностных сил действуют силы инерции. Пользуясь принципом Даламбера, составим уравнение движения единицы массы жидкости, ко­торое представляет собой сумму проекций массовых и поверх­ностных сил:

Если к ним прибавить с обратным знаком проекции сил инерции, отнесенных к единице массы То:

Получим: ; ; ;

Подставив в эти уравнения величины и учитывая что при установившемся движения: , получим уравнение движения Эйлера:

Мерой движения жидкости является энергия, которая харак­теризуется работой, совершаемой жидкостью при торможении (кинетическая энергия), и работой, совершаемой массовыми и поверхностными силами (потенциальная энергия) при переходе от рассматриваемого положения в пространстве к нулевому по­ложению, в котором потенциальная энергия условно считается равной нулю. Следовательно, для получения уравнения энергии необходимо найти работу сил при перемещении единицы массы жидкости на расстояние dl по линии тока, для этого умножим почленно каждое из выражений на массу m и проекцию dl на каждую координатную ось. Выполнив все необходимые преобразования получим выражение для полной энергии:

И окончательно будем иметь

Уравнение баланса движения потока невязкой жидкости в общем виде.

Из полученного уравнения вытекает три частных случая:

1) Уравнение баланса энергии потока невязкой жидкости не зависимо от массы :

2) Уравнение баланса энергии не зависящие от объёма:

3) Баланс энергии отнесенный к силе тяжести:

В гидравлике это уравнение еще называют напором.

12. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУИ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

Рассмотрим установившееся движение элементарной струйки идеальной жидкости в декартовой системе координат, в кото­рой плоскость хОу (рис. 4.2) горизонтальна, а из всех массовых сил действуют, допустим, только силы тяжести, проекции кото­рых на оси координат: Х=0, Y=0, Z = -g . Плоскость хОу назы­вается плоскостью сравнения потенциальной энергии (gdz). С учетом всех этих условий уравнения примут вид:

Интегрирование уравнений произведем для двух струйных моделей жидкости — с постоянной плотностью и с переменной плотностью. Для первой модели после интегрирования получим урав­нения:

полной удельной энергии

е_п=u²/2+p/ρ+ gz = const;

полного давления

Рп =ρu²+p+ρgz = const;

полного напора

Н_п=u²/2g+p/ρg+z=const

Эти выражения называются уравнениями Бернулли. Они яв­ляются основными при решении многих задач гидравлики и представляют собой математическую модель закона сохранения энергии вдоль элементарной струйки невязкой, несжимаемой жидкости относительно принятой плоскости сравнения

При постоянной плотности

;

в этом уравнение - скоростной напор ; – статический напор

где - расстояние от центра тяжести живого потока жидкости обозначается (z).

Этот напор определяет положение потока в пространстве.

- пьезометрический напор, измеряется пьезометром.

Скорость потока

Скоростной поток