Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости

ГИДРОСТАТИКА

4. Уравнение Эйлера.

Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, действующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (12)

от давления, взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (13)

Отсюда видно, что на каждый элемент объема dV жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Другими словами, можно сказать, что на единицу объема жидкости действует сила -grad р.

Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объема жидкости, приравняв силу -grad p произведению массы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru единицы объема жидкости на ее ускорение Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru :

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (14)

Стоящая здесь производная Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам. Для этого заметим, что изменение вскорости данной частицы жидкости в течение времени dt складывается из двух частей: из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием dr, пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt. Первая из этих частей равна

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (15)

где теперь производная Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru берется при постоянных х, у, z, т.е. в заданной точке пространства. Вторая часть изменения скорости равна

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (16)

Таким образом,

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (17)

или, разделив обе стороны равенства на dt,

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (18)

Подставляя полученное соотношение в (14), находим:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (19)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л. Эйлером в 1775 г. Оно называется уравнением Эйлера является одним из основных уравнений гидродинамики.

Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее объема действует еще сила Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , где g есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения (14), так что (19) приобретает вид

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (20)

При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывал процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое здесь относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.

Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.

При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая посредством Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru энтропию, отнесенную к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (21)

где полная производная по времени означает, как и в (14), изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (22)

Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движенияидеальной жидкости. С помощью Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru его можно написать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (23)

Произведение psv представляет собой «плотность потока энтропии».

Надо иметь в виду, что обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках объема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатичности просто в виде

s = const. (24)

что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют изэнтропическим.

Изэнтропичностью движения можно воспользоваться для того, чтобы представить уравнение движения (19) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (25)

где w – тепловая функция единицы массы жидкости, Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – удельный объем, а Т – температура. Поскольку s = const, мы имеем просто

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (26)

и поэтому Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Уравнение (19) можно, следовательно, написать в виде

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (27)

Полезно заметить еще одну форму уравнения Эйлера, в котором оно содержит скорость. Воспользовавшись известной формулой векторного анализа

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (28)

можно написать (29) в виде

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (29)

Если применить к обеим строкам этого уравнения операцию rot, то мы получим уравнение

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (30)

содержащее только скорость.

К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость стенках. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных стенках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки компонента скорости жидкости:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (31)

(в общем же случае движущейся поверхности Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru должно быть равно соответствующей компоненте скорости поверхности).

На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие равенства давлений и условие равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна скорости нормального перемещения самой поверхности раздела).

Как уже было указано, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами: тремя компонентами скорости Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и, например, давлением р и плотностью Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность движения.

1. Основная формула гидростатики.

Закон Паскаля. Понятие о напоре

Рассмотрим абсолютный покой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.

Уравнение Эйлера (20) принимает вид

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (32)

Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости. Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнение равновесия гласит просто Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , т.е. р = const – давление одинаково во всех точках жидкости.

Уравнение (32) непосредственно интегрируется, если плотность жидкости можно считать постоянной вдоль всего объекта, т.е. если не происходит заметного сжатия жидкости под действием внешнего поля. Выберем оси координат, как показано на рис. 2. Поскольку из массовых сил действует только сила тяжести, то

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (33)

Таким образом, искомая функция р зависит только от одной переменной z; интегрирование последнего равенства дает

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (34)

где С – произвольная постоянная.

Эта формула выражает гидростатический закон распределения давления, состоящий в том, что в тяжелой (подверженной действию силы тяжести) несжимаемой жидкости давление линейно зависит от вертикальной координаты.

Чтобы найти постоянную в уравнении (34), надо использовать какое-нибудь граничное условие. Пусть, например, жидкость покоится в резервуаре (см. рис.2) причем на ее свободной поверхности давление равно р0. Будем это давление называть внешним.

Для точек свободной поверхности можем записать

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (35)

Вычитая это отношение из уравнения (34), находим

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (36)

или, обозначив через Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru заглубление точки М под свободную поверхность, получим основную формулу гидростатики

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (37)

где величина Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru называется весовым давлением.

Из этой формулы ясно, что всякое изменение внешнего давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru вызывает изменение давления во всех точках покоящейся жидкости на ту же величину. Этот результат известен как закон Паскаля.

Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, т.е. в ней отсутствуют напряжения сжатия, то Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Значения Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , отсчитанные от нуля, называют иногда абсолютным давлением.

В технике весьма часто представляет интерес избыток давления р над атмосферным Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , который называется избыточным или манометрическим давлением. По определению

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (38)

Для произвольной точки М, заглубленной на высоту h под свободную поверхность, избыточное давление равно

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; (39)

отсюда видно, что избыточное давление совпадает с весовым, если давление на свободной поверхности равно атмосферному ( Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ).

Если все члены формулы (37) разделить на величину Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , то они приобретут линейную размерность:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (40)

Отсюда следует, что каждому давлению р можно поставить в соответствие линейную величину Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , которая представляет собой величину столба жидкости, создающего в своем основании данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, показанной на рис.3. Если на свободной поверхности в резервуаре давление Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , а из запаянной сверху трубки А удален воздух, то под действием давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru жидкость в трубке поднимется над точкой М на некоторую высоту Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , называемую приведенной высотой. Принимая приближенно, что на свободной поверхности в трубке давление равно нулю, согласно (37) можно записать Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Следовательно, приведенная высота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности которого давление равно нулю, а в основании – данному давлению жидкости.

Для трубки П, открытой в атмосферу и называемой пьезометром, получим

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (41)

откуда

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; (42)

величину Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru называют пьезометрической высотой.

Если давление в точках какого-либо объема жидкости меньше атмосферного ( Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ), то такое состояние называется вакуумом. Для его характеристики вводится понятие вакуумметрического давления ( Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ), под которым подразумевается недостаток данного давления до атмосферного

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (43)

Соответствующая высота называется вакуумметрической:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (44)

На рис. 3 и 4 показаны вакуумметрические высоты для случаев вакуума в капельной жидкости и газе. Давление измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В системе СИ единицей давления служит Н/м2 = Па (паскаль), а в технической системе – кгс/см2 = ат (техническая атмосфера). Наряду с этими, как следует из (42) и (44), давление можно, измерять в единицах длины столба данной жидкости.

Общей формулой перевода единиц давления в линейные единицы является

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (45)

При выражении давления высотой столба жидкости чаще всею применяют метры водяного столба, миллиметры ртутного столба и миллиметры спиртового столба.

Гидростатический закон распределения давления, выраженный формулой (34), справедлив, очевидно, для любого положения координатной плоскости хОу. Эту плоскость называют плоскостью сравнения, а величину Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – гидростатическим напором. Величину Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – избыточноедавление, называют пьезометрическим напором. Из формулы (34) следует, что напоры Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru постоянны для всех точек данной массы покоящейся жидкости.

2. Силы давления жидкости на твердые поверхности

В общем случае воздействие жидкости на твердую поверхность S сводится к сумме элементарных сил Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , действующих на малых площадках dS, составляющих эту поверхность (рис. 5).

Если Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – единичный вектор нормали к поверхности S, внешней к объему жидкости, а Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – давление на площадке dS, то сила Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Суммируя систему сил Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , получаем выражение для главного вектора

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (46)

называемого силой давления жидкости на поверхность S, и выражение для главного момента

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (47)

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – радиус-вектор площадки Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru относительно центра приведения системы сил.

Рассмотрим несколько частных случаев.

2.1. Равномерное давление на плоскую стенку (р=const., п=const).

В этом случае суммируемые векторы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru составляют систему параллельных и одинаково направленных сил. Такая система всегда может быть сведена только к силе давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . При р = const и n = const из выражения (46) получаем

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (48)

Линия действия силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru проходит через центр тяжести площади S.

Равномерное давление может создаваться покоящимся газом, так как благодаря малой его плотности можно пренебречь действием массовых сил и считать давление одинаковым во всех точках газа.

Равномерное давление может создаваться и капельной жидкостью, например, при ее воздействии на горизонтальные площадки, в случае абсолютного покоя или движения сосуда с ускорением вверх или вниз.

Величина силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru при равномерном распределении давления не зависит от ориентации плоской стенки S в пространстве и вычисляется по формуле Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Например, для схемы на рис. 6 давление на дне Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , а сила Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Заметим, что сила давления на дно не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс).

2.2. Сила равномерного давления на криволинейную стенку ( Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru )

В этом случае элементарные силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru имеют разные направления. Главный вектор Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru системы вычисляется через свои проекции. Чтобы найти его проекцию Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru на ось х , проектируем на эту ось векторы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (рис.7).

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ,

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – единичный вектор оси x; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – проекция площадки dS на плоскость, нормальную оси х. Искомая величина Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru при Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (49)

Линия действия силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru проходит через центр тяжести площади проекции Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Таким образом, величина проекции на направлении оси x силы равномерного давления р на криволинейную поверхность S равна произведению давления и площади проекции Sx этой криволинейной поверхности на плоскость. нормальной оси х. Если такие проекции на три взаимно ортогональные оси пересекаются в одной точке, то система сил Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru может быть сведена только к силе давления, величина которой

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (50)

а направление определяется направляющими косинусами

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (51)

Если составляющие не пересекаются в одной точке, система сводится к силе и моменту.

2.3. Сила неравномерного давления на плоскую стенку ( Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ).

Систему элементарных сил Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , одинаковых по направлению, но различных по величине, можно свести в данном случае к одной силе давления

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (52)

где S – площадь стенки.

Величина этой силы

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (53)

зависит от закона распределения давления Р по площади S. При воздействии на S капельной жидкости эти законы могут быть различными. Их конкретный вид зависит от ориентации площадки и действующих на жидкость массовых сил при абсолютном и относительном покое.

Вычислим силу Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru для плоской стенки, наклоненной к горизонту под углом a и подверженной воздействию тяжелой жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя (рис. 8).

Определим результирующую силу избыточных давлений Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , которые создаются внешним избыточным Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и весовым Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru давлениями. Заменим внешнее давление Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru воздействием эквивалентного слоя жидкости, толщина, которого Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru определяется высотой поднятия жидкости в пьезометре Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Таким образом, внешнее давление из рассмотрения исключается, и свободная поверхность СП заменяется пьезометрической плоскостью ПП. Продолжим плоскость стенки до пересечения с пьезометрической плоскостью. Вдоль линии их пересечения направим ось х, а ось у расположим в плоскости стенки. Затем для наглядности повернем плоскость стенки на 90° вокруг оси у и совместим стенку с плоскостью чертежа.

Величину силы вычислим по формуле (53):

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

В рассматриваемом случае (см. рис. 8) давление

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (54)

что при подстановке в формулу (53) дает

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Интеграл Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох, равный, как известно, произведению S на координату Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ее центра тяжести.

Поэтому

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (55)

Формула (55) может быть записана в двух видах

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (56)

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – избыточное давление в центре тяжести площадиS, или

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (57)

Согласно (56) величина силы избыточного давления покоящейся жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на избыточное давление в ее центре тяжести.

Вектор силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru направлен по нормали к стенке S:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ,

а линия действия этой силы пересекает стенку в некоторой точке D, называемой центром давления. Для отыскания координат этой точки ( Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ) используем теорему о равенстве момента равнодействующей и суммы моментов составляющих, которая в данном случае выражается уравнением

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (58)

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – радиус-векторы соответственно центра давления D и произвольной точки (ху) площади S.

По правилам составления проекций векторного произведения находим

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Учитывая выражения (54) и (55), получим

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (59)

Более удобные выражения для Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru получим, если воспользуемся теоремой о соотношении между моментами второй степени, взятыми относительно параллельных осей

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ,

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – оси координат, проходящие через центр тяжести С площадки S параллельно осям х и у; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – координаты центра тяжести С в системе xу; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – центробежный момент площади S относительно осей х и у ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – момент инерции площади S относительно оси х (см. рис. 8). Окончательно,

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (60)

Вторая из формул (60) показывает, что центр давления расположен ниже центра тяжести на величину Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Возвращаясь к формуле (57), заметим, что силу давления в рассматриваемом случае можно получить, складывая независимо вычисленные две силы: Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – сила внешнего избыточного давления, Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – сила весового давления. При таком способе определения силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru следует помнить, что линии действия сил Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru не совпадают, и центр давления D определяется линией действия суммарной силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

2.4. Неравномерное давление на криволинейную твердую поверхность ( Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ) может быть создано тяжелой жидкостью при абсолютном или относительном покое. Элементарные силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru составляют в этом случае самую общую систему, которая должна сводиться к силе давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (46) и моменту Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (47). Однако существуют частные случаи,, когда система сводится к одной силе давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , например, если линии действия элементарных сил Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru пересекаются в одной точке (сферическая стенка).

Рассмотрим криволинейную поверхность S, находящуюся под воздействием внешнего избыточного давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и весового давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (рис.9). Как было показано в предыдущем пункте, задачу отыскания силы давления можно расчленить, определяя раздельно силы весового и внешнего давлений. Эту же задачу можно свести к задаче об определении только весового давления, заменив внешнее давление действием эквивалентного слоя жидкости.

Силу весового давления Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru определим по ее проекциям. Горизонтальная проекция

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ,

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – проекция площадки dS на вертикальную плоскость, нормальную к оси х. Последний интеграл представляет собой статический момент площади Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru относительно оси y. Следовательно,

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (61)

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – координата центра тяжести площади Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Аналогично получим

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (62)

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – площадь проекции криволинейной поверхности на плоскость, нормальную оси y.

Таким образом, чтобы вычислить горизонтальную проекцию Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru силы весового давления на криволинейную поверхность, следует площадь проекции Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru этой поверхности на плоскость, нормальную к рассматриваемой горизонтальной оси, умножить на давление в центре тяжести площади Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Проекция силы весового давления на вертикальную ось определится соотношением

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (63)

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – проекция на плоскость х0у поверхности S.

Последний интеграл представляет собой объем тела Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , ограниченного поверхностью S, цилиндрической боковой поверхностью Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru с вертикальными образующими и проекцией Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru криволинейной поверхности S на свободную поверхность жидкости. Это тело называется телом давления, а величина Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru есть вес жидкости в его объеме.

Таким образом, вертикальная проекция силы весового давления на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления.

Величина Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru силы Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru определится формулой

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (64)

а направление линии ее действия – направляющими косинусами

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ; Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . (65)

Если Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru пересекаются в одной точке, то система сводится к силе давления, проходящей через эту точку.

Возможны два случая расположения криволинейной поверхности (рис. 10 а и б) под уровнем жидкости. В первом случае жидкость расположена над твердой поверхностью; тело давления заполнено жидкостью и считается положительным, а вертикальная составляющая силы направлена вниз. Во втором случае тело давления не заполнено жидкостью и считается отрицательным; вертикальная сила давления направлена вверх.

Если криволинейная поверхность S замкнута и полностью погружена под уровень абсолютно покоящейся жидкости (рис. 11), то воздействие жидкости сводится к одной вертикальной силе. Действительно, для любой горизонтальной оси существуют две противоположно направленные и равные по величине силы, действующие на тело; поэтому результирующая горизонтальных сил равна нулю. Чтобы найти вертикальную силу, проектируем S на свободную поверхность жидкости. Проектирующие вертикали отметят на поверхности тела замкнутую линию l, которая делит поверхность на две части Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru . Для верхней части Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru тело давления положительно и соответствующая ему сила направлена вертикально вниз, а для нижней Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – тело давления отрицательно и сила направлена вверх. Обозначив объемы этих тел давления соответственно через Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru и Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , найдем величину результирующей вертикальной силы А:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , (66)

где Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – объем тела.

Таким образом, сила давления покоящейся жидкости на погруженное в нее тело направлена вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме тела. Этот результат составляет содержание закона Архимеда: сила А называется архимедовой или гидростатической подъемной силой. Если G – вес тела, то его плавучесть определяется соотношением сил А и G. При Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru тело тонет, при Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru – всплывает, при G = А – плавает в состоянии безразличного равновесия. Следует иметь в виду, что линии действия сил G и А могут не совпадать, так как линия действия веса G проходит через центр тяжести тела, а линия действия архимедовой силы А – через центр его объема. При неравномерном распределении плотности тела может появиться момент, способствующий опрокидыванию тела.

В заключение отметим, что сила давления жидкости по криволинейной поверхности в случаях относительного покоя может быть определена общим способом суммирования элементарных сил давления, применительно к заданной форме поверхности и условиям относительного покоя.

ГИДРОДИНАМИКА

Основные понятия гидродинамики

Основные элементы движения жидкости. Причинами движения жидкости являются действующие на нее силы: объемные или массовые силы (сила тяжести, инерционные силы) и поверхностные силы (давление, трение). В отличие от гидростатики, где основной величиной, характеризующей состояние покоя жидкости, является гидростатическое давление, которое определяется только положением точки в пространстве, т.е. Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ,в гидродинамике основными элементами, характеризующими движение жидкости, будут два: гидродинамическое давление и скорость движения (течения) жидкости.

Гидродинамическое давление р – это внутреннее давление. развивающееся при движении жидкости. Скорость движения жидкости в данной точке и – это скорость перемещения находящейся в данной точке частицы жидкости, определяемая длиной пути l, пройденного этой частицей за единицу времени t.

В общем случае основные элементы движения жидкости р и и для данной точки зависят от ее положения в пространстве (координат точки) и могут изменяться во времени. Аналитически это положение гидродинамики записывается так:

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru ,

Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Задачей гидродинамики и является определение основных элементов движения жидкости р и u, установление взаимосвязи между ними и законов изменения их при различных случаях движения жидкости.

Траектория частицы.Если в массе движущейся жидкости взять какую-либо частицу жидкости и проследить ее путь за какой-то промежуток времени Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru (конечный, достаточно большой), то можно получить некоторую линию, выражающую геометрическое место этой точки в пространстве за время Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru .

Линия тока. Если в массе движущейся жидкости в данный момент времени t взять какую-либо точку 1(рис. 12), то можно в этой точке построить вектор скорости и1, выражающий величину и направление скорости движения частицы жидкости в данной точке 1в этот момент времени.

В тот же момент времени t можно взять и другие точки в движущейся жидкости, например, точки 2, 3, 4,. ..... в которых также можно построить векторы скоростей u2, u3, и4,… выражающие скорость движения других частиц жидкости в тот же момент.

Можно выбрать точки 1, 2, 3, 4. . . и провести через них плавную кривую, к которой векторы скоростей будут всюду касательны. Эта линия и называется линией тока.

Таким образом, линией тока называется линия, проведенная через ряд точек в движущейся жидкости так, что в данный момент времени векторы скорости частиц жидкости, находящихся в этих точках, направлены по касательной к этой линии. В отличие от траектории, которая показывает путь движения одной частицы жидкости за определенный промежуток времени Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , линия тока соединяет разные частицы и дает некоторую мгновенную характеристику движущейся жидкости в момент времени t. Через заданную точку в данный момент времени можно провести только одну линию тока.

Если в данных точках движущейся жидкости величина и направление скорости и гидродинамическое давление с течением времени не изменяются (такое движение называется установившимся), то и линия тока, и траектория частицы, оказавшейся на ней, совпадают и со временем не изменяются. В этом случае траектории частиц являются и линиями тока.

Элементарная струйка. Если в движущейся жидкости выделить весьма малую элементарную площадку Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , перпендикулярную направлению течения, и по контуру ее провести линии тока, то полученная поверхность называется трубкой тока, а совокупность линий тока, проходящих сплошь через площадку Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости - student2.ru , образует так называемую элементарную струйку (рис. 13).

Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в данный момент времени t. При установившемся движении элементарная струйка имеет следующие свойства:

1. форма и положение элементарной струйки с течением времени остаются неизменными, так как не изменяются линии тока;

2. приток жидкости в элементарную струйку и о

Наши рекомендации