Сравнение аналитического решения с результатами численного эксперимента
Сведем результаты в таблицы и сравним с аналитическим решением.
1. Объемная постановка задачи.
Таблица 4. Радиальные и осевые напряжения и радиальные перемещения на внутренней стороне трубы (r = a).
| Аналитическое значение | Значение, полученное численным моделированием | Погрешность, % | |
 , Па | -2500 | -2502,74 | 0,0011 |
 , Па | -5625 | -5622,26 | 0,0005 |
 , м ∙10-9 | -21,9 | -21,9 |
Таблица 5. Радиальные и осевые напряжения и радиальные перемещения на внешней стороне трубы (r = b).
| Аналитическое значение | Значение, полученное численным моделированием | Погрешность, % | |
| , Па | -3500 | -3500,2 | 0,00005 |
| , Па | -4625 | -4624,8 | 0,00005 |
| , м ∙10-9 | -26,8 | -26,8 |
2. Плоская постановка задачи.
Таблица 6. Радиальные и осевые напряжения и радиальные перемещения на внутренней стороне трубы (r = a).
| Аналитическое значение | Значение, полученное численным моделированием | Погрешность, % | |
| , Па | -2500 | -2502,74 | 0,001 |
| , Па | -5625 | -5622,26 | 0,0005 |
| , м ∙10-9 | -21,9 | -21,9 |
Таблица 7. Радиальные и осевые напряжения и радиальные перемещения на внешней стороне трубы (r = b).
| Аналитическое значение | Значение, полученное численным моделированием | Погрешность, % | |
| , Па | -3500 | -3500,2 | 0,00005 |
| , Па | -4625 | -4624,8 | 0,000046 |
| , м ∙10-9 | -26,8 | -26,8 |
3. Осесимметричная постановка задачи.
Таблица 8. Радиальные и осевые напряжения и радиальные перемещения на внутренней стороне трубы (r = a).
| Аналитическое значение | Значение, полученное численным моделированием | Погрешность, % | |
| , Па | -2500 | -2503,82 | 0,0015 |
| , Па | -5625 | -5621,15 | 0,00069 |
| , м ∙10-9 | -21,9 | -21,9 |
Таблица 9. Радиальные и осевые напряжения и радиальные перемещения на внешней стороне трубы (r = b).
| Аналитическое значение | Значение, полученное численным моделированием | Погрешность, % | |
| , Па | -3500 | -3500,59 | 0,00016 |
| , Па | -4625 | -4624,41 | 0,00013 |
| , м ∙10-9 | -26,8 | -26,8 |
Вывод.
В ходе решения задачи был рассмотрен полый цилиндр, нагруженный внутренним и внешним давлением. Аналитически были получены значения радиальных и осевых напряжений и радиальных перемещений. С помощью программы ANSYS былиполучены эпюры радиальных перемещений и распределения радиальных и окружных напряжений.Задача решалась в трех постановках: объемной, плоской и осесимметричной. Минимальные отклонения получились при решении задачи в объемной постановке, однако во всех остальных случаях отклонение увеличилось незначительно, а следовательно для решения данной задачи можно с успехом использовать двумерную постановку. Отклонения во всех постановках составили меньше 1%. Это говорит о том, что метод конечных элементов можно применять для решения задачи Ляме. Задавшись определенной точностью, можно получить минимальное отклонение численного решения от аналитического.
Список литературы
1. Кац А. М. Теория упругости. – СПб.: Издательство «Лань», 2002.