Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений

Кубическое уравнение запишем в виде:

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru (1)

После подстановки значений инвариантов получим

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Первый корень кубического уравнения определим, например, подбором делителя для свободного члена уравнения (1): ±1 ... ±10 ... и т.д.

σ' = 90,79716278

Правильность подбора первого корня б' проверим его подстановкой в уравнение (1).

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Второй и третий корень определим, применив, например, теорему БЕЗУ, согласно которой кубическое уравнение типа (1) де­лится без остатка на величину (σ - σ '), где σ ' - первый ко­рень, определённый подбором.

Применение этой теоремы позволяет не производить упомянуто­го деления вообще, а коэффициенты нового (теперь уже - квадратно­го уравнения, полученного в результате такой операции, определяют в последовательности, показанной в таблице 2.

Таблица 2- Определение коэффициентов квадратного уравнения

Исходное (кубическое) уравнение
a0=+1 a1=±(I1) a2=±(I2) Свободный член a3=±(I3)
-190 -200
Искомое (квадратное) уравнение: Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru
Первый корень σ'=90,79716 a0=b0=+1 b1= σ'· b0+a1 b2= σ'· b1+a2 b3= σ'· b2+a3=0
b0=+1 b1=90,79716·1+ +(-190) b2 = 90,79716 · · (-99,20283722) + +(-200) b3 = 90,79716 · · (-9207,336159) + +836000
+1 -99,20283722 -9207,336159 Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

При составлении квадратного уравнения на основании исходного (кубического) значения степени для "σ" кубического уравнения уменьшаются на единицу.

Второй и третий корни кубического уравнения (1) находим, решая квадратное уравнение.

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Корни этого уравнения находятся по формуле

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Вычисление корней квадратного уравнения

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru 157,618255

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru -58,41541752

Корни этого квадратного уравнения являются вторым и третьим корнем кубического уравнения.

С учетом известного соотношения σ1> σ2> σ3 найден­ным корням кубического уравнения присваивают соответствующие индексы "1", "2", "3".

σ1=157,6182547 (МПа);

σ2=90,79716278 (МПа);

σ3=-58,41541752 (МПа).

Выполним проверку найденных корней кубического уравнения

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

I1=157,6182547+90,79716278 +(-58,41541752)=190 (МПа)

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

I2= - [157,6182547 · 90,79716278 +90,79716278 · (-58,41541752) +

+ (-58,41541752) · 157,6182547] = -[ 14311,29033+(-5303,954173)+

+ (-9207,3362)] = 200 (МПа)

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

I3=157,6182547 · 90,79716278 · (-58,41541752) =-836000 (МПа)

Вычисление направляющих косинусов нормалей к главным площадкам.

Аналитически направлявшие косинусы нормалей к главный площадкам с главными нормальными напряжениями σг (то есть σ1 или σ2 или σ3) определяют по формулам:

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru ,

где Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru , Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru , Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru -направляющие косинусы нормалей к соответствующей главной площадке;

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru , Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru . Значения Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru и Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru вычисляют решая систему

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Вычисление направляющих косинусов нормалей для первой главной площадки.

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Найдем значения Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru и Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru , решив два уравнения системы.

Каждое уравнение системы делим на a’3 и вводим обозначение

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru , Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru .

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru ;

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru .

Подставив численные значения получим

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru ;

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru .

Найдем значения направляющих косинусов для первой площадки

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Выполним проверку полученных значений из условия что:

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru

1,0=1,0

Посчитаем значение углов в градусах

α'1=arcos( Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru )=arcos(0,683968)= 46,85°

α'2= arcos( Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru )=arcos(-0,7051032)= 134,84°

α'3= arcos( Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений - student2.ru )=arcos(0,187131)= 79,21°

Наши рекомендации