Колебания упругих стержней

Для простоты будем считать, что масса стержня намного меньше массы груза, поэтому силами инерции элементов стержня пренебрегаем. Колебания подразделяются на свободные и вынужденные. Свободные колебания возникают после кратковременного приложения внешней силы. Вынужденные колебания вызываются переменами во времени нагрузками

рис.20.6.

20.5.1. Свободные колебания

Приложим кратковременную нагрузку и удалим ее. Поскольку внешних сил нет, то колебания существуют по причине наличия сил инерции.

Рассмотрим сечение I-I.

рис.20.7

На него действует сила растяжения . Если груз движется с некоторым ускорением , то на груз действует сила инерции

.

Запишем условие равенства нулю всех сил.

.

. (20.10)

Выразим и F_инер через удлинение стержня. Имеем закон Гука:

. (20.11)

С другой стороны перемещение u груза это и есть величина удлинения . Из теоретической механики известно, что ускорение и F_инер вычисляются по формуле:

(20.12)

Подставим в (20.10):

Здесь обозначено .

Решение этого уравнения, которое называется уравнением свободных колебаний, имеет вид (это легко проверить путем подстановки)

.

рис.20.8

Коэффициент характеризует то, насколько часто повторяется волна синусоиды в каком-либо интервале. Чем больше , тем чаще повторяется волна синусоиды, поэтому называют частотой свободных колебаний стержне. Например, на рисунке справа волн больше, значит для нее больше.

Константы B и С определяются из начальных условий, например, если при t=0 оттянуть стержень на величину , а затем отпустить, то имеем следующие начальные условия:

Подставим в эти условия наше решение:

Получим:

.

Таким образом:

рис.20.9

Примечание: величина является наиболее важной характеристикой сооружения, поскольку она определяет возможность появления резонанса от воздействия внешних нагрузок.

Вынужденные колебания

рис.20.10

Рассмотрим случай, когда к грузу приложена внешняя сила , переменная во времени. Исследуем наиболее опасный случай, когда она является периодической:

. (20.13)

Коэффициент характеризует то, насколько часто меняется направление воздействия силы .

Запишем уравнение равновесия верхней части стержня

.

Подставляя (20.11), (20.12), (20.13), получим:

.

Отсюда получаем уравнение, которое называется уравнением вынужденных колебаний:

. (20.14)

Ищем решение в виде:

.

Тогда

Подставляя в (20.14), находим:

,

.

Чтобы это уравнение выполнялось в любое время, скобки должны быть равны нулю. Отсюда получаем:

Из первого уравнения находим:

.

Выводы: как видно из выражения для B, если собственная частота колебания стержня будет приближаться по величине к частоте изменения внешней силы , то В становится неограниченно большим, следовательно, удлинение становится тоже неограниченно большим.

Определение: это явление называется резонансом.