Стационарное течение жидкостей и газов

Существует два основных метода описания течения жидкостей и газов (далее будем гово-рить только о жидкостях). Это метод Лагранжа, в котором задаются координаты и скорости каждой частицы жидкости, и метод Эйлера, в котором исследуется зависимость от коорди-нат и времени скорости потока жидкости . Мы будем вести рассмотрение в рамках метода Эйлера. Определим несколько важных понятий в таком описании.

Линии тока – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости жидкости (рис. 1). Густота линий тока пропорциональна скорости жидкости в данной части потока.

Трубка тока – часть жидкости, ограниченная линиями тока. Такое определение означает, что частицы жидкости никогда не пересекают стенок трубки тока.

Стационарное течение – скорость жидкости не зависит от времени в каждой точке пространства.

Рассмотрим тонкую трубку тока ( по сечению трубки) в идеальной несжимаемой жидкости. При этом количество жидкости между двумя произвольными сечениями и должно оставаться постоянным. Следовательно, через и за 1 сек должно проходить одинаковое количество жидкости, то есть

, или .

Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи. Из него, в частности, следует, что если сечение трубки тока переменно, то жидкость движется с ускоре-нием. Это означает, что вдоль трубки тока изменяется давление жидкости. Получим связь между скоростью жидкости и давлением с учетом влия-ния силы тяжести. Для этого снова рассмотрим тонкую трубку тока с двумя сечениями на высотах и . За время пройдут объемы жидкости

.

Изменение за время энергии объема жидкости, заключенного в начальный момент между и , равно разности энергий малых объемов

Это изменение равно работе сил давления

.

Приравнивая друг другу два последних выражения, получаем

.

В пределе при , объемы стягиваются в точки, а трубка тока переходит в линию тока. Таком образом на заданной линии тока выполняется уравнение Бернулли

Течение вязкой жидкости.

При движении слоев жидкости друг относительно друга между ними возникают силы вязкого трения. Они связаны с переходом молекул из одного слоя в другой и их взаимодействием. Рассмотрим опыт Ньютона, с помощью которого был получен закон для сил вязкости (рис. 4). В этом опыте тонкая пластина с площадью двигалась под действием силы по поверхности жидкости с постоянной скоростью . Глубина жидкости в сосуде равна . Сила вязкости , действующая на пластину, равна по величине и противоположна внешней силе. На основании проведенных измерений Ньютон сформулировал следующий закон:

.

Коэффициент в этой формуле зависит только от свойств жидкости и называется коэффи-циентом вязкости. Его размерность в СИ , а в СГС - 1 Пуаз. В приближении идеальной жидкости мы полагаем .

Из опыта следует, что вблизи пластины скорость жидкости близка к . Она спадает с глубиной по линейному закону, обращаясь в нуль на дне сосуда. Если направить ось вверх, а начало координат поместить на дне сосуда, то распределение проекции скорости на ось можно представить в виде (рис. 4):

.

В общем случае, при изменении скорости потока вдоль направления , проекция на ось силы вязкого трения, действующей между слоями с площадью может быть выражена как

.

Знак “-“ показывает, что слой с большей скоростью тормозится слоем с меньшей скоростью.

В качестве примера использования закона вязкого трения Ньютона рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе длины и радиуса . Из условия несжимаемости следует, что скорость жидкости не меняется в направлении движения. Однако, она может изменяться по радиусу трубы. Выделим мысленно тонкий цилиндрический объем жидкости радиуса и высоты , ось которого совпадает с осью трубы (рис. 5). На боковую поверхность выделенного цилиндра действует сила вязкого трения

,

а на его основания – сила разности давлений

.

При стационарном течении . Отсюда получаем

.

Последнее равенство вытекает из независимости от . Здесь , - давления на левом и правом концах трубы соответственно ( ). Производя интегрирование с учетом граничного условия , получим

.

Из этого выражения видно, что на оси трубы скорость достигает максимального значения

и спадает по квадратичному закону до нуля при удалении от оси. Введем еще одно важное понятие.

Расход жидкости – количество жидкости, протекающее за единицу времени через поперечное сечение трубы.

С помощью выражения для и суммирования потоков по тонким кольцевым сечениям радиуса и ширины приходим к формуле Пуазейля

.

ЛЕКЦИЯ 26