Основная теорема гидростатики

Гидростатическое давление в точке не зависит от на­прав­ления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям.

Докажем, что р_х = р_у = р_z = р_n, где р_х, р_y, р_z, р_n – представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении ко­ор­динатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном на­прав­ле­нии N-N (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, со­ответ­ст­венно параллельными координатным осям, и с массой

dm = ,

где r – плотность жидкости.

Представим, что жидкость внутри тетраэдра – в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия.

Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов:

(2.3)

Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения мо­мен­тов такой системы удовлетворяются тождественно, а действую­щие

действую­щие на не­го силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку.

(2.4)

К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы.

К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр.

Таких сил будет четыре (по числу граней).

На грань АВС действует сила

, (2.5)

где рх – среднее гидростатическое давление для треугольника АВС с площадью .

Сила dP_x параллельна оси ox, направлена в противоположную сто­рону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс».

Силы dP_y и dP_z,действующие на грани ABD и ACD, соот­вет­ст­вен­­но параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны ну­лю.

Четвертая сила dP_n – сила давления на грань ВСD равна:

, (2.6)

где рn – среднее гидростатическое давление для грани BCD;

dw – площадь этой грани.

Проекция этой силы на ось ox:

. (2.7)

Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox.

Произведение dwcos(N,ox) представляет собой проекцию пло­ща­ди треугольника BCD на плоскость уoz и равно:

. (2.8)

Тогда проекция силы dP_n на ось ox численно равна:

. (2.9)

Аналогично можно записать проекции силы dP_n на оси oy и oz:

(2.10)

Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к рав­нодействующей dR, образующей с координатными осями углы a, b, g и равной:

, (2.11)

где dm –масса тетраэдра, равная:

,

где r –плотность жидкости;

dxdydz – объем тетраэдра;

j – ускорение объемной силы (в частном случае ускорение свободного падения).

Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что

Тогда проекции объемной силы dR равны:

(2.12)

Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12):

. (2.13)

Или после сокращения на dydz:

.

Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительно p_x и p_n, получаем p_x – p_n = 0 или p_x = p_n.

Аналогично p_y = p_n и p_z = p_n.

Следовательно,

p_x = p_y = p_z = p_n. (2.14)

Что и надо было доказать.

Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому на­правлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направ­ле­ния действия.