Статически определимые и статически неопределимые стержневые системы

Стержневую систему называют статически определимой, если опорные реакции и внутренние силовые факторы М, Q и N в каждом сечении могут быть найдены из одних лишь уравнений равновесия.

Замечательной особенностью таких систем является то, что внутренние усилия М, Q и N и перемещения невзаимосвязаны. Это означает, например, что внутренние силовые факторы в железобетонной и металлической рамах при одинаковых размерах и нагрузке одинаковы. Перемещения же (деформации) могут быть вычислены только при известных значениях жесткостей сечений, то есть когда заданы их размеры и физические свойства материала, из которых изготовлена конструкция.

Отсюда следует, что в статически определимых системах не возникает усилий от температурных воздействий и осадки опор.

Если отсутствуют внешние силовые воздействия, то в статически определимых системах напряженное состояние равно нулю.

В статически неопределимых системах уравнений равновесия недостаточно для определения указанных выше расчетных параметров из- за наличия так называемых лишних (или избыточных) связей. Особенности работы таких систем обсуждаются во второй части Пособия.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определения статически определимой и статически неопределимой системы

2.Назовите главную особенность статически определимых систем?

2.Расчет многопролетной шарнирной балки

Общие сведения

Многопролетные статически-определимые балки представляют собой комбинированные системы, состоящие из нескольких балок, соединенных шарнирами. Несколько расчетных схем таких балок показаны на рис.2.1.

Рис.2.1

Многопролетные шарнирные балки объединяют преимущества однопролетной балки (простота расчета и изготовления, отсутствие стесненной деформации) с преимуществами неразрезной балки (меньшие моменты в пролетах из за влияния опорных моментов, меньшие деформации). Они обладают и тем преимуществом, что, используя разгружающий эффект консоли, удачным выбором положения шарниров можно любым образом установить желаемое соотношение между изгибающими моментами на опоре и в пролете.

Из-за этих преимуществ шарнирные балки охотно применяют в разных конструкциях, например, в прогонах, мостовых переходах и т.д. Устройство шарниров, правда, связано с известными трудностями. Шарнирная балка статически определима, если число шарниров равно числу “лишних” опорных реакций.

“Поэтажная “ схема. Порядок расчета многопролетной шарнирной балки.

.Удобной расчетной моделью служит так называемая "поэтажная схема".Для ее построения следует всю систему мысленно разделить по шарнирным сочленениям на отдельные балки и определить условия их опирания. При этом обнаружится, что отдельные балки имеют либо по два опорных закрепления, либо защемлены на одном из концов (консоли). Такие балки относят к "главным" (или несущим) и на схеме изображают на самом нижнем ярусе (балки АВС на рис.2.2а, АВ и СDE -на рис.2.2b). Элементы поэтажной схемы, опирающиеся на главные балки или имеющие лишь по одной опоре на основание ("землю") называют "второстепенными" (или несомыми) балками (балки СDE и EF - на рис 2.2а, ВС -на рис.2.2b). Такие балки на поэтажной схеме располагаются выше балок, на которые они шарнирно опираются.

Рис.2.2

В "поэтажной схеме" взаимодействие элементов подчиняется принципу: усилия могут передаваться только с вышележащих балок на нижележащие, но не передаются в обратном направлении, то есть с нижних элементов на верхние.

Опорные реакции второстепенных (несомых) балок – это силы, с которыми “нижний этаж” действует на верхний. По третьему закону Ньютона верхний этаж действует на нижний с такими же силами.

Это позволяет выстроить простой алгоритм расчета многопролетных шарнирных балок

1) Строят поэтажную схему, выделяя несущие балки и несомые.

1) Рассчитывают несомую балку самого верхнего этажа: определяют опорные реакции и строят эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q .

2) Последовательно рассчитывают балки нижних этажей на свою нагрузку и на силу, передающуюся с верхнего (“ перевернутую” опорную реакцию балки верхнего этажа)

3) В одном масштабе строят эпюры М и Q для всей балки.

Прежде, чем приступать к решению задач, нужно вспомнить основные определения и правила построения эпюр в простых , однопролетных балках.

Изгибающим моментом М, действующим в сечении, называют алгебраическую сумму моментов всех внешних сил, приложенных к левой и правой части балки, относительно этого сечения. При этом опорные реакции включаются в состав внешних сил.

Изгибающий момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна. Эпюру М строят со стороны растянутых волокон и знаков не ставят.

Поперечная сила Q численно равна алгебраической сумме проекций всех левых или правых сил от сечения на нормаль ( перпендикуляр) к оси балки.

Знак Q принято считать положительным, если сумма проекций всех левых сил направлена вверх (или, соответственно, всех правых сил – вниз). На эпюре Q знаки ставят обязательно, откладывая положительные значения вверх от оси балки, а отрицательные – вниз..

При построении эпюр нужно помнить основные правила

1.На ненагруженном участке балки эпюра М прямолинейная, а Q – постоянная, то есть имеет вид прямоугольника

2.В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре М образуется излом, направленный в сторону действия силы. На эпюре Q в этом сечении образуется скачок, равный по величине приложенной силе F

3.В точке приложения сосредоточенного момента m на эпюре М образуется скачок, равный по величине приложенному моменту m.

4.На участке с равномерно распределенной нагрузкой изгибающий момент М изменяется по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки, а поперечная сила – по линейному закону

5. В сечениях, где эпюра Q пересекает ось балки, изгибающий момент принимает экстремальное значение.

6. Момент в шарнире или на шарнирной опоре равен нулю, если в сечении бесконечно близком к шарниру (или опоре) не приложен внешний сосредоточенный момент.

7.Если на прямолинейном участке балки длиной l , загруженной равномерно распределенной нагрузкой q, сосредоточенной cилой F или сосредоточенным моментом m известны две крайние ординаты эпюры моментов, то эпюру М можно построить, подвесив на линию, соединяющую концы ординат, известные балочные эпюры моментов (рис. 2.3)

Рис.2.3

Пример Требуется построить эпюры М и Q в балке, изображенной на рис.2.4.

Балка ABC имеет две опоры “на землю” и является основной. Балка СD – второстепенная и на поэтажной схеме располагается “на втором этаже”.

Построив поэтажную схему начинают расчет (построение эпюр) с верхнего этажа.

Расчет несомой балки СД (Рис.2.4а). Из условий симметрии V_C = V_D = .

Mомент в середине пролета равен

М

Эпюры М и Q – на рис.2.4а.

Расчет несущей балки АС.)(рис.2.4b)

Определяют опорные реакции

,

,

Проверка

Эпюры М и Q показаны на рис.2.4b.

Окончательные эпюры М и Q показаны на рис.2.4с.

Рис.2.4

Вопросы для самоконтроля

1Что представляет собой многопролетная статически-определимая шарнирная балка? Какие элементы в ней различают?

2. Что представляет собой поэтажная схема и как она выстраивается?

3.Каков порядок расчета многопролетной шарнирной балки?

4.Как определяют опорные реакции в простых, однопролетных балках?

5.Что такое изгибающий момент и поперечная сила в балках?

6.Какое правило знаков принято при построении эпюр М и Q?

7.Какой вид имеют эпюры изгибающих моментов и поперечных сил на участках, где отсутствует нагрузка?

8.Как изменяются изгибающий момент и поперечная сила на участке, где действует равномерно распределенная нагрузка q, или сосредоточенная сила F, или сосредоточенный момент m ?

9. Чему равен момент в шарнире ( или на шарнирной опоре) если бесконечно близко от него не приложен внешний сосредоточенный момент ?

10.Как “подвешивается” балочная эпюра изгибающих моментов простой балки на участке балки длиной l, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q (или сосредоточенной силой F, или сосредоточенным моментом M), если известны изгибающие моменты по концам этого участка?

3.Линии влияния опорных реакций и расчетных усилий в балках.

При расчете строительных конструкций нередко приходится иметь дело с нагрузками, которые могут занимать на ней разные положения. Например, это может быть тележка крана на подкрановой балке, нагрузка проходящего поезда или скопления людей на ферме моста и т.п. Все эти нагрузки представляют собой, как правило, систему сосредоточенных вертикальных грузов с фиксированным расстоянием друг от друга. Предполагается , что нагрузки лишь изменяют свое положение, но не создают динамического эффекта.

Линией влияния (л.в.) какого-либо расчетного усилия (опорной реакции, изгибающего момента или поперечной силы) в заданном сечении балки называют график, отражающий закон изменения этого усилия в зависимости от положения на балке груза F = 1.

Линии влияния позволяют легко определить усилия в сечении, для которого они построены от любых нагрузок в произвольной комбинации.

Проще всего построение л.в. можно осуществить, используя статический способ. Он состоит в том, что из уравнений равновесия находят формулу ( закон) изменения усилия в рассматриваемом сечении, для которого строится л.в., при любом положении груза F = 1 . Положение груза определяется в произвольно выбранной системе координат. В балках за начало отсчете принимают обычно левую опору А.

Л.в. опорных реакций V_A и V_B балки с консолями (рис.2.5).

Из уравнений равновесия можно получить формулы для V_A и V_В:

Уравнение л.в. V_A 0; V _А ^.l - 1(l-x)= 0 V _А =

Уравнение л.в.V_в 0; -V_B ^.l + 1 ^.x=0 V_B =

Каждое из этих уравнений - это уравнение прямой линии ( x в первой степени). Графики можно построить, определив опорные реакции в двух точках

при x =0 V_A = 1, V_B =0,

при x = l V_A = 0, V_B =1.

Положительный знак означает, что соответствующая реакция направлена вверх. При положении груза F=1 на дальней от опоры консоли опорная реакция меняет знак, так как направлена вниз.

Рис2.5

Чтобы сразу оценить полезность таких графиков, зададимся вопросом, что будет, если на балке в каком то месте стоит не единичный груз, а сосредоточенная сила, например, мешок с цементом 0,5 кн.? Нужно умножить эту силу на ординату линии влияния ( например, л.в.V_A ) под нагрузкой и сразу, без составления уравнений равновесия получить значение опорной реакции V_A.

Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в каком либо сечении балки получают аналогично. Они функционально связаны с линиями влияния

опорных реакций.

Линия влияния изгибающего момента М к₁ в сечении к₁ , расположенного в пролете балки (рис.2.6).

Рассматривают два случая расположения единичного груза: левее заданного сечения к₁ и правее него. Выражение для момента М_к1 получают из уравнения равновесия .Составляют уравнение для той части балки, на которой груз F=1 отсутствует.

1.Пусть груз F=1 расположен левее сечения к 1 .Рассматривая равновесии правой части балки получим : М _к1= = b. Эта формула определяет левую ветвь л.в. М_к1 от сечений к₁ до конца левой консоли

2. Пусть груз F=1 расположен правее сечения к 1 . Тогда М _к1 = = a . Эта формула определяет правую ветвь л.в. М_к1 .

Таким образом , ординаты правой ветви равны увеличенным в а раз ординатам линии влияния опорной реакции V_А , а ординаты левой ветви – ординатам л.в. V_B , увеличенным в b раз . Левая и правая ветви пересекаются над сечением к₁ .(рис. 2.6).

Каждая ордината этого графика дает значение изгибающего момента в сечении к_{1 ,} когда груз F=1 располагается на балке в месте, соответствующем этой ординате. Отличие от эпюры моментов состоит и в том, что положительные ординаты откладываются над осью балки.

Рис.2.6

Итак, построение л.в. изгибающего момента в заданном сечении к двухопорной балки сводится к следующему простому алгоритму:

1. На левой опоре вверх откладывают отрезок, равный расстоянию от этой опоры до сечения. Этот отрезок можно откладывать в любом удобном масштабе.

2. Конец отрезка соединяют с правой опорой

3. На полученную прямую сносят сечение. На рис. 2.6 эта точка показана звездочкой.

4. Точку пересечения соединяют с левой опорой.

5. Если у балки есть консольные участки, то правую ветвь л.в. продолжают по прямой до конца правой консоли, а левую ветвь - до конца левой консоли

Линия влияния поперечной силы Q _к1 (ри2.7)

Опираясь на определение поперечной силы в балках, как проекции всех сил, расположенных по одну сторону отрассматриваемого сечения на нормаль к оси балки, нетрудно получить формулы для левой и правой ветвей л.в. Q_л1 .

1. Груз F=1 левее сечения к 1 : Q _к1 = -(V _В )= -левая ветвь,

2. Груз F=1 правее сечения к 1: Q _к1 =V _А = - правая ветвь .

Порядок построения л.в. поперечной силы для сечения к сводится к следующим действиям :

1. На левой опоре вверх откладывают отрезок равный единице (рис.2.7)

2. на правой опоре вниз откладывают отрезок равный единице.

3. Соединяют концы отрезков с противоположными опорами.

4. На полученный параллелограмм сносят сечение.

5. Если у балки есть консольные участки, то правую ветвь л.в. продолжают по прямой до конца правой консоли, а левую ветвь - до конца левой консоли

Рис.2.7

Линии влияния момента и поперечной сил для сечения к_2, расположенного на консольной части балки (рис.2.8), легче всего строить, опираясь лишь на определения изгибающего момента и поперечной силы в балке.

Рассмотрим, например, сечение к1 на правой консоли.

Будем задавать положение груза F=1 координатой x с началом отсчета в сечении к_{2 ,} направляя ось вправо (см. рис.2.5)

Линия влияния М_{к1 .}.

1. Груз F=1 левее сечения к₂ : М_к2 =0 (Рассматривая правую ненагруженную часть консоли устанавливаем на основании определения момента, что М _к2 =0)

2.Груз F=1 правее сечения к₂ : М _к2 =-1 ^.x .

Линия влияния М _к2 показана на рис.2.8

Рис.2.8

Линия влияния Q _к2 (рис.2.9)

1. Груз F=1 левее сечения к₂: Q _к2 =0

2. Груз F=1 правее сечения к₂ : Q _к2 =1

Рис.2.9

Cравнивая эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q c линиями влияния М и Q, следует отметить, что они принципиально различны.

Ординаты эпюр усилий характеризуют напряженное состояние всей системы, в любом сечении от одной конкретной заданной нагрузки. При другом положении нагрузки расчет нужно проводить заново и строить новые эпюры.

Ординаты линии влияния, наоборот, характеризуют величину и изменение усилия в одном сечении, для которого построена эта линия влияния, в зависимости от положения единичной силы.

Определение усилий по линиям влияния. Загружение линий влияния.

Ординаты различных линий влияния имеют разную размерность. Действительно, чтобы получить по линии влияния опорную реакцию или поперечную силу, нужно умножить эту силу на ординату л.в. под силой и не забыть о ее знаке этой ординаты. Отсюда следует, что ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил безразмерны. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют размерность длины.

Линии влияния, построенные от единичного вертикального груза, позволяют найти соответствующее усилие от любой реальной нагрузки, действующей на балку.

Рассмотрим три самые распространенные случая нагружения.

1.Влияние неподвижной цепочки сосредоточенных грузов (рис.2.10).

Применяя принцип независимости действия сил, можно выразить влияние всех сил, как сумму влияний каждой из них в отдельности. На рис. 2.10 показан участок какой то линии влияния усилия S (это может быть опорная реакция, момент или поперечная сила). Влияние каждой силы определяется произведением этой силы на ординату л.в. в месте ее приложения. Влияние цепочки сил может быть представлено в виде суммы

S = F₁ y₁ + F₂ y₂ + …+F_n y_n = (1.2)

Рис.2.10

Следовательно, надо сосредоточенные внешние нагрузки умножить на ординаты л.в., расположенные под этими нагрузками (со своим знаком !) и результаты сложить,

2. Влияние неподвижной равномерно распределенной нагрузки, интенсивностью q (рис.2.11).э

Рис.2.11

Распределенную нагрузку на участке л.в., отмеченной на рисунке ab, можно представить как цепочку сосредоточенных грузов q dx. Чтобы просуммировать влияние всех этих элементарных грузов qdx, нужно взять определенный интеграл в пределах от а до b

S = . (2.2)

Буквой обозначена площадь линии влияния под нагрузкой.

Итак, чтобы определить по л.в. усилие от равномерно распределенной нагрузки интенсивность нагрузки q нужно умножить на площадь л.в. под нагрузкой (площадь понимается алгебраически - учитываются знаки участков л.в.).

3.Влияние сосредоточенного момента (рис.2.12)

Задача сводится к загружению сосредоточенными силами, если момент

представить в виде пары сил с плечом, равным единице. В этом случае каждая сила будет равна по величине М.

Влияние момента записывается как для цепочки грузов

Рис.2.12

S = ^_ My₁ + My₂,

Это выражение можно переписать так

S = M .

Из рис.2.12 видно, что второй ( дробный) множитель равен - тангенсу угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения сосредоточенного момента, т.е

S = M . (3.2)

Чтобы учесть влияние сосредоточенного момента нужно умножить его на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в сечении, где он действует. При этом принимается следующее правило знаков: момент, действующий по часовой стрелке, считается положительным; угол , отсчитываемый против часовой стрелки, принят положительным. На рис. 2.12 угол положительный.

Линии влияния расчетных усилий в многопролетных шарнирных балках.

Чтобы построить л.в. в многопролетной шарнирной балке, необходимо, прежде всего, построить поэтажную схему, схему взаимодействия отдельных ее элементов. Из поэтажной схемы следует, что единичная сила оказывает влияние на усилие в сечении только тогда, когда она находится на “этаже”, на котором это сечение задано, или на более высоких “этажах”.

Поэтому построение л.в. проводят в два этапа.

1.Строят л.в. на том этаже, на котором задано сечение по правилам построения л.в. для одиночной балки.

2.Учитывают влияние верхних этажей.

Построим, например, л.в. изгибающего момента для сечения I – I в балке, показанной на рис.2..13, на котором изображена и поэтажная схема.

Так как сечение задано на основной балке АС, то строим л.в. момента как для однопролетной балки с консолью, руководствуясь правилом, изложенным на стр.20.

На втором этапе находятся нулевые точки л.в.на верхних “этажах”, которые и позволяют довести решение задачи до конца. При перемещении груза F =1 по балке второго “этажа” СЕ вправо опорная реакция на опоре С будет линейно уменьшаться и, следовательно будут уменьшаться давление на нижний этаж. Когда единичная сила, займет положение над опорой на "землю" D ,то она будет воспринята этой опорой, опорная реакция на опоре С будет равна нулю, давление на нижний этаж передаваться не будет и момент в сечении I – I будет равен нулю. Проведя прямую линию, соединяющую конец отрезка на консоли ВС и найденную нулевую точку D

и продолжая ее до конца консоли второго этажа Е, получают второй участок л.в.

Поднимем груз F = 1 на третий “этаж”. Рассуждая аналогичным образом, устанавливаем, что при положении груза над опорой F опорная реакция на опоре Е будет равна нулю и нижние “этажи” выключаются из работы., то есть М_I-I равен нулю. Соединим конец отрезка л.в на конце консоли второго “этажа” Е с нулем на опоре F, закончим построение л.в. М_I-I . (рис2.13с).

Все ординаты л.в. определяются из подобия треугольников. Опорными значениями служат ординаты на том этаже, на котором задано сечение.

Изложенные правила и приемы позволяют легко построить и л.в. поперечной силы Q в том же сечении I – I.(рис.2.13d).

Построенные л.в. позволяют найти расчетные усилия в сечении I – I от любой заданной нагрузки.

Рис.2.13

Найдем, например, М_I-I и Q_I-I от нагрузки, показанной на рис.2.13е.

M_I-I кНм,

Q_I-I - 1.928 кН.