Движение частицы в поле консервативной силы

В классической механике движение частицы описывают при помощи зависимости ее радиус-вектора от времени:

(20.10)

При заданных начальных условиях

и

эта зависимость может быть найдена из второго закона Ньютона

(20.11)

Движение частицы считается известным, если известна зависимость (20.10). В таком случае для любого момента времени можно сколь угод­но точно определить положение частицы в пространстве и ее скорость. Поэтому описание движения частицы посредством зависимости (20.10) называют детерминистическим.

Консервативное силовое поле определяется соотношением

, (20.12)

связывающим вектор силы и потенциальную энергию частицы . Согласно этому определению проекция силы на ось х равна с обратным знаком производной по х от потенциальной энергии:

Если на частицу не действуют другие силы, кроме консервативной силы (20.12), то полная механическая энергия частицы со временем изменять­ся не будет:

(20.13)

Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии.

Так как кинетическая энергия есть величина неотрицательная, спра­ведливо неравенство

(20.14)

Из этого неравенства следует, что частица, обладающая определенной энергией Е, не может оказаться в области пространства, где ее потенци­альная энергия больше полной механической энергии Е. Другими сло­вами, эти области пространства недоступны для частицы с таким значе­нием энергии.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси х под действием силы, кото­рая зависит только от ее положения:

F_x = F_x(x)

F_x = F_x{x) .

Функцию F_x = F_x(x) одного переменного всегда можно представить в виде

, (2.15)

где U = U(x); - потенциальная энергия частицы.

■

Рис. 20.1. Потенциальная энергия частицы и действующая на нее консервативная сила

На рис. 20.1 изображен график возможной зависимости U от х. При х = а эта функция имеет максимум, а при x = b - минимум. Часть графика функции U = U(x), содержащую максимум, называют потен­циальным барьером. На рис. 20.1 эта

часть соответствует x . Часть графика, содержащую минимум, называют потенциальной ямой. Кривая на рис. 20.1 имеет "яму" при x .

По виду графика функции U = U(x) можно определить направление силы, действующей на частицу. В тех точках оси х, где функция U = U(х) возрастает, проекция F_x силы на ось х отрицательна, т.е. сила направлена в сторону убывания х (рис. 20.1); а в точках оси х, где функция U = U(x) убывает, проекция силы F_x положительна и сила направлена в ту же сторону, что и ось х:

> 0 и F_x > 0 при x

Запишем закон сохранения полной механической энергии частицы при ее движении вдоль оси х:

(20.16)

Теперь неравенство (20.14) принимает вид

U(x) ≤ E . (20.17)

Из этого неравенства следует, что частица, полная механическая энер­гия которой равна Е, не может оказаться в тех точках оси ж, где ее потенциальная энергия больше значения Е.

E U

F v x₀ x

Рис. 20.2. Падение частицы на потенциальный барьер

Пусть потенциальная энергия U = U{x) движущейся вдоль оси х ча­стицы есть монотонно возрастающая функция, график которой показан на рис. 20.2. В таком случае действующая на частицу сила будет всюду направлена против оси х. Когда частица движется в сторону возраста­ния х, сила

будет тормозить ее движение. В противоположную сторону частица будет двигаться ускоренно. Пусть частица с энергией Е дви­жется в сторону возрастания потенциальной энергии (в рассматриваемом случае из - оо направо). Такое движение называют падением на потен­циальный барьер. Так как при этом сила направлена против скорости, движение частицы будет замедляться. Когда частица достигнет точки, где ее потенциальная энергия равна Е (на рис. 20.2 эта точка имеет ко­ординату х₀), ее кинетическая энергия и скорость станут равны нулю, т.е. частица остановится. Затем под действием силы F_x частица начнет ускоренно двигаться в обратном направлении. В таком случае говорят, что произошло отражение частицы от потенциального барьера.

Подводя итоги, отметим, что согласно закону сохранения энергии - од­ному из основных законов классической механики - частица с энергией Е не может проникнуть в те области пространства, где ее потенциальная энергия больше значения Е. Многочисленные экспериментальные фак­ты опровергают это утверждение. Оказывается, микрочастицы вопреки законам классической механики способны проникать в те области про­странства, где их потенциальная энергия U больше полной механической энергии Е. Правильное объяснение эти факты находят только в рамках квантовой механики.