Свойства симметричных фигур

Если фигура симметрична то:

1) Ось симметрии является центральной.

2) Относительно любой системы координат, у которой одна из осей совпадает с осью симметрии, центробежный момент равен нулю:

J_xy=0 (1.14)

Рис.1.4

Доказательство:

Для найдется , такая что , при этом будет .

Тогда

Используя формулу (1.8) получим:

Отсюда следует, что:

Аналогично доказывается второе утверждение:

Геометрический и механический смысл моментов

Напомним формулу (1.8): . Если ось x проходит через центр тяжести (см. рис.1.5), то , следовательно:

Если же у_ц.т. не равно нулю, то чем больше площадь А или плечо у_{ц.т. ,} тем больше S_х .

Таким образом, - характеризует и величину фигуры, и удаленность ее от оси x. При этом, если фигура лежит над осью x, то , если ниже оси x, то .

Рис. 1.5

Моменты - характеризуют инерцию вращения тела около соответствующей оси.

Например, на рис.1.6 J_x¹ > J_x²

Рис.1.6

С точки зрения сопротивления материалов характеризуют жесткость бруса на изгиб. Например, балка с сечением, отмеченным на рис 1.6 цифрой 1, будет жестче балки со вторым сечением при вертикальном изгибе.

Формулы для вычисления моментов инерции канонических фигур

1.2.5.1. Формулы для вычисления моментов инерции прямоугольника относительно центральных осей:

Выразим площадь dA в формулах (1.11), (1.12) через малые отрезки dх, dy :

Заменяя в (1.12 ) интеграл по площади кратным интегралом, получим:

Аналогично найдем . Таким образом:

(1.15)

Центробежный момент равен нулю J_ху = 0, поскольку оси х,у совпадают с осями симметрии.

Формула для вычисления момента инерции окружности относительно центральных осей

Ее получают аналогично.

(1.16)

Центробежный момент равен нулю, поскольку оси х,у совпадают с осями симметрии.

Формула для вычисления момента инерции треугольника

Поскольку любой треугольник можно представить в виде суммы двух прямоугольных, то приведем формулы для следующего случая:

(1.17)

Связь моментов относительно разных осей

Связь моментов относительно параллельных осей

Рассмотрим следующую задачу. Пусть даны , а необходимо найти

Согласно определению

Выразим у2 через у1     Тогда получим:   (1.18)

Рис.1.7

Аналогично:

Рассмотрим важный частныйслучай. Если оси являются центральными, то . Тогда получим:

(1.19)

Примечание. При использовании формул (1.19) необходимо помнить, что а и b могут быть отрицательными, а именно, если центр тяжести расположен ниже оси х, то а<0, если он расположен левее оси у, то b <0.