Спектр значений энергии гармонического осциллятора

Основная задача заключается в определении спектра значений энергии гармонического осциллятора. Исходным является уравнение:

(17.1)

Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна , где -собственная частота колебаний, а кинетическая энергия есть . Следовательно, гамильтониан осциллятора запишется в виде:

(17.2)

Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при , то гармонический осциллятор может совершать лишь финитное движение (в ограниченной области пространства). В соответствие с этим энергетический спектр осциллятора дискретен.

Из вида операторов и следует, что .

Существует несколько способов решения данной задачи:

1) координатное представление;

2) импульсное представление;

3) матричный метод;

4) операторный метод.

Из всех перечисленных подходов к решению задач операторный метод является наиболее общим, позволяющим перейти к описанию квантованных полей. В операторном методе для определения спектра значений энергии гармонического осциллятора используются лишь перестановочные соотношения для канонически сопряжённых переменных и :

.

Универсальность теории гармонического осциллятора и её независимость от физической природы станет очевидной после перехода к безразмерным переменным и :

Заметим, что для гармонического осциллятора частоты имеется единственная величина, имеющая размерность энергии , а так как имеет размерность энергии, то

Найдём вид оператора . имеет размерность энергии, т.е. , откуда можно записать, что или

(17.3)

Аналогично , откуда

(17.4)

Гамильтониан такой системы будет иметь вид:

(17.5)

Тогда оператор примет вид: .

Запишем уравнения осциллятора для переменных и :

Откуда , или . Эта переменная подчиняются дифференциальному уравнению первого порядка, т.к. .

Целесообразно ввести новую переменную b(t):

. В квантовой механике ей соответствует оператор:

(17.6)

Сопряжённый ему оператор имеет вид:

(17.7)

Оператор не эрмитовский. Покажем это. Установим перестановочные соотношения для вновь введённых переменных b и и запишем гамильтониан гармонического осциллятора в этих переменных.

т.е.

(17.8)

Т.к. ,то . Подставив полученный результат в (17.8) получим:

. (17.9)

Выразим и через и . Получим:

(17.10)

. (17.11)

Откуда определим гамильтониан гармонического осциллятора:

Из соотношения (17.9) следует соотношение

, (17.12)

учитывая которое гамильтониан примет вид

или

, (17.13)

где оператор n есть

. (17.14)

Обозначим собственные значения оператора n через и рассмотрим следующие уравнения на собственные функции и собственные значения:

.

Откуда, учитывая (17.12), получим

. (17.15)

Таким образом, наша задача свелась к нахождению собственных значений оператора n.

Прежде всего докажем, что не могут быть отрицательными. Для этого рассмотрим уравнение:

.

Умножая скалярно левую и правую части равенства на и учитывая условие нормировки для векторов , получим:

.

С другой стороны, учитывая, что :

.

Таким образом, .

Далее установим две вспомогательные леммы.

Лемма1: Если - собственные вектора с собственными значениями , то вектор также является собственным вектором оператора с собственным значением , т.е.

. (17.16)

Доказательство: Учитывая равенства (17.12), (17.14), (17.15) запишем

Таким образом, лемма доказана.

Лемма2:Если - собственный вектор оператора с собственным значением , то вектор также является собственным вектором оператора с собственным значением , т.е.

(17.17)

Доказательство: Учитывая равенства (17.14), (17.12), (17.15) получим

что и требовалось доказать.

Отсюда имеем собственные вектора состояния , которым соответствует минимальное собственное значение , т.е. . Согласно лемме1, также является собственным вектором оператора :

,

но - минимальное собственное значение оператора и . Следовательно, , откуда или .

Так как собственные значения , согласно леммам 1 и 2, отличаются друг от друга на единицу, то =0,1,2,…n. Обозначим и запишем леммы 1 и 2 с учётом вновь введённого обозначения:

(17.16`)

(17,17`)

Откуда следует, что и можно записать в следующем виде:

и найдём из условия нормировки:

Рассмотри скалярное произведение :

.

С другой стороны,

Таким образом, и

. (17.18)

Аналогичным образом находим , откуда

. (17.19)

Таким образом, собственные значения оператора Гамильтона примет вид:

, (17.20)

где n=0,1,2,…

Из соотношения (17.20) следует, что минимальное значение энергии гармонического осциллятора отлично от нуля и спектр энергии гармонического осциллятора эквидистантен.

Применим полученный результат к некоторым примерам, рассмотренным в начале параграфа.

1). Электромагнитное поле эквивалентно совокупности независимых гармонических осцилляторов. Для любого такого осциллятора спектр значений энергии имеет вид:

.

Так как осцилляторы независимы, то спектр значений энергии свободного электромагнитного поля равен сумме возможных значений энергий гармонического осциллятора:

где

Выясним физический смысл оператора n. Монохроматической волне ставится в соответствие кванты поля . Тогда в выражении для энергии приобретает смысл числа фотонов в состоянии , при этом есть оператор числа фотонов в состоянии . Из соотношений же

следует, что есть оператор уничтожения фотона в состоянии , а -оператор рождения фотона в состоянии .

2). Колебания кристаллической решётки есть совокупность независимых гармонических осцилляторов. Таким образом, , где . Упругой волне в кристалле ставится в соответствие квант-фонон. Тогда - оператор числа фононов.