Линейные колебания системы с одной степенью свободы

2.1. Методы составления уравнений

Различают три основных методы вывода уравнений движения:

1. Статический метод основан на принципе Даламбера: Геометрическая сумма сил, приложенных в точке и силы инерции этой точки равны нулю. Этот метод удобен для вывода уравнений в простых задачах динамики.

2 Кинематический метод основан на принципе возможных перемещений.

Возможные (виртуальные) перемещения несвободной механической системы – воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями.

Необходимое и достаточное условие равновесия системы сил, приложенных к механической системе заключается в равенстве нулю суммы элементарных работ заданных сил на любом возможном перемещении этой системы из рассматриваемого положения.

Такой метод имеет преимущества в расчете систем со сложными конструктивными схемами.

3.Энергетический метод основан на применении закона сохранения энергии, согласно которому сумма кинетической и потенциальной энергий неизменна в процессе колебаний:

,

где Т – кинетическая , П – потенциальная энергии.

Далее составляется уравнение Лагранжа 2-го рода

.

Здесь q – обобщенные координаты; i – число степеней свободы системы.

Число степеней свободы – число независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение всех масс системы при их возможных перемещениях.

Пусть механическая система с одной степенью свободы имеет одну обобщенную координату q, и ее движение описывается одним уравнением Лагранжа

.

Обобщенную силу будем считать состоящей из трех частей:

.

– обобщенная потенциальная сила. Она выражается через потенциальную энергию П по формуле

.

В включаем ту часть обобщенной силы, которая получается от действия сил сопротивления. является результатом действия на систему возмущающих сил, зависящих от времени. В дальнейшем будем рассматривать случай гармонической возмущающей силы, когда изменяется по синусоидальному закону.

2.2. Собственные линейные колебания системы

Рассмотрим малые колебания системы под действием одних потенциальных сил, т.е. когда

.

Такие колебания называются собственными или свободными. В случае малых колебаний системы получается линейное дифференциальное уравнение для обобщенной координаты q.

Колебания, для которых дифференциальное уравнение является линейным, называются линейными.

Малые колебания принадлежат к числу линейных. Но линейные колебания не обязательно малые.

Кинетическая и потенциальная энергии для рассматриваемой системы имеют вид:

; .

Составим уравнение Лагранжа:

.

В результате получим дифференциальное уравнение малых собственных колебаний

.

Легко убедиться, что это уравнение полностью аналогично дифференциальному линейному уравнению собственных прямолинейных колебаний материальной точки.

Полученное уравнение можно представить в форме:

,

где – постоянная величина, называемая круговой (циклической) частотой колебаний.

Размерность круговой частоты .

Дифференциальное уравнение является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение

. (1)

Корни уравнения (1) мнимые: .

Поэтому решение уравнения (1) можно записать в виде

. (2)

Дифференцируя полученное решение, получим выражение для обобщенной скорости

. (3)

Произвольные постоянные определяют из начальных условий:

,

где – начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости.

Подставляя значение времени в уравнения (2) и (3), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных , откуда находим:

. (4)

С учетом выражений (4) уравнение собственных колебаний имеет вид[1]

Произвольные постоянные А и a определяются из начальных условий.

Величину А называют амплитудой колебаний. Она определяет наибольшее отклонение обобщенной координаты от положения равновесия, соответствующего значению q=0. Обобщенная координата изменяется в пределах: .

Безразмерная величина a называется начальной фазой колебаний. Она является значением фазы колебаний при t=0, .

Собственные линейные колебания, определяемые в амплитудной форме, называются гармоническими колебаниями

.

Функция q является периодической функцией. Определим значение периода колебаний t:

.

Величина обратная периоду называется частотой колебаний. Размерность [n]=1 Гц – одно колебание в секунду.

Рис. 3

График собственных гармонических колебаний представляет собой синусоиду (рис. 3).

Амплитуда этих колебаний – величина постоянная и определяется начальными условиями. Период колебаний тоже величина постоянная, не зависящая от амплитуды и, следовательно, от начальных условий.

2.3. Влияние линейного сопротивления на малые собственные
колебания системы

На точки механической системы действуют потенциальные силы и силы сопротивления. Тогда уравнение Лагранжа выразится в форме:

.

Вблизи положения равновесия системы имеем следующие выражения для кинетической, потенциальной энергий и диссипативной функции:

.

Учитывая, что

,

получаем уравнение Лагранжа

или

.

Введем обозначения . Тогда дифференциальное уравнение движения системы примет вид

. (4)

Постоянная является круговой частотой собственных колебаний системы без учета сопротивления. Величина называется коэффициентом затухания.

Дифференциальное уравнение (4) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни его характеристического уравнения:

.

В зависимости от соотношения величин n и k могут представиться три случая: 1) n < k – случай малого сопротивления; 2) n > k –случай большого сопротивления; 3) n = k случай критического сопротивления. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

1). Затухающие колебания. Если n < k, то корни характеристического уравнения комплексные

.

Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет вид

, (5)

где – некоторые постоянные коэффициенты.

Решение (5) можно представить в амплитудной форме

или , (6)

где А и a – произвольные постоянные величины. Сравнивая это выражение с (5), получаем формулы связи постоянных коэффициентов:

или .

Постоянные и соответственно А и a определяются из начальных условий .

Величина А>0 и она не является амплитудой колебаний. Начальная фаза a может изменяться от 0 до 2p.

Построим график функции , (рис. 3.42 а). Из графика следует, что величина последовательных наибольших отклонений q от положения равновесия уменьшается с увеличением времени, стремясь к нулю. В соответствии с этим движение, определяемое уравнениями (5) и (6), называют затухающими колебаниями.

Условным периодом затухающих колебаний (или периодом) называют период . Он является периодом прохождения системы через положение равновесия.

Круговой частотой является величина , следовательно, период затухающих колебаний: .

Период величина постоянная, не зависящая от начальных условий. Он больше периода собственных колебаний при отсутствии сопротивления

.

Переменную величину называют условной амплитудой затухающих колебаний.

Легко показать, что любые два значения , соответствующие моментам времени, отличающимися на период , связаны соотношением

.

Величину отношений двух последовательных максимумов называют декрементом колебаний.

Натуральный логарифм декремента колебаний называется логарифмическим декрементом колебаний .

Таким образом, малое линейное сопротивление незначительно увеличивает период колебаний по сравнению со случаем отсутствия сопротивления, но сильно уменьшает последовательные значения условных амплитуд, которые уменьшаются с течением времени по экспоненциальному закону.

2). Затухающие движения. Рассмотрим случай большого сопротивления, когда n > k. Корни характеристического уравнения в этом случае имеют значения

.

Оба корня действительны и отрицательны, т.к. .

Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет вид

,

где – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Очевидно, функция убывает (рис. 4 б), приближаясь к нулю, так как вследствие того, что показатели степеней l₁ и l₂ отрицательны.

Различные случаи поведения показаны на рис. 4 б. Во всех этих случаях движение является затухающим, но не колебательным. Такое движение также называют апериодическим.

а)	б)
Рис. 4

3). Критическое сопротивление. При n = k характеристическое уравнение имеет кратный отрицательный корень

l₁=l₂= – n.

Решение дифференциального уравнения (4) принимает вид

,

где – произвольные постоянные определяются по начальным условиям.

В этом случае при t стремящемся к бесконечности стремиться к нулю, так как

.

Случай критического сопротивления тоже дает затухающее движение.

Таким образом, линейное сопротивление не может устойчивое положение равновесия сделать неустойчивым. Оно незатухающие малые колебания превратит в затухающие или сделает их затухающими движениями.