Системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная материальная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может совершать перемещения только в вертикальном направлении, следовательно, система имеет одну степень свободы.

Системы с одной степенью свободы - student2.ru

Рис.20.1

Будем исследовать дви­жение системы из ее исходного положения равновесия при t = 0 (рис.20.1, а), считая перемещение вниз положительным.

Пусть на балку действует динамическая сила величиной: Системы с одной степенью свободы - student2.ru , где Системы с одной степенью свободы - student2.ru - частота вынуждающей силы. Обозначая дополни­тельное перемещение мас­сы m от динамических на­грузок через y(t), вводим следующие начальные условия:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru ; Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.1)

В процессе движения на массу действует сила инерции Системы с одной степенью свободы - student2.ru и сила сопротивления по Фойхту Системы с одной степенью свободы - student2.ru . Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, трение в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего сопротивления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной.

Вводим следующие обозначения: Системы с одной степенью свободы - student2.ru - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке; Системы с одной степенью свободы - student2.ru - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы Системы с одной степенью свободы - student2.ru , при этом: Системы с одной степенью свободы - student2.ru ; Системы с одной степенью свободы - student2.ru - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы Системы с одной степенью свободы - student2.ru при ее отсутствии.

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произвольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru , (20.2)

откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.3)

Принимаем обозначения: Системы с одной степенью свободы - student2.ru - круговая частота соб­ственных колебаний системы; Системы с одной степенью свободы - student2.ru - коэффициент затухания.

С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (14.3) принимает вид:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.4)

Решение дифференциального уравнения (20.4), с учетом начальных условий (20.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется Системы с одной степенью свободы - student2.ru , записывается в виде:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru ; Системы с одной степенью свободы - student2.ru ; Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.6)

Круговая частота Системы с одной степенью свободы - student2.ru называется круговой частотой собственных колебаний системы с учетом сил затухания.

Коэффициент затухания колебания определяется по корректированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наиболее обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru , (20.7)

где Системы с одной степенью свободы - student2.ru - называется логарифмическим декрементом затухания и определяется через отношения соседних амплитуд колебания, возникающих через промежуток времени Системы с одной степенью свободы - student2.ru :

Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.8)

Для различных конструкций средние значения Системы с одной степенью свободы - student2.ru приводятся в таблице 20.1.

Таблица 20.1

Наименование конструкции Системы с одной степенью свободы - student2.ru
Стальные мосты Железобетонные мосты Железобетонные балки Железобетонные рамы Железобетонные ребристые перекрытия 0,17 0,63 0,56 0,25 0,57

Выражение (20.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы Системы с одной степенью свободы - student2.ru , изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения характеризует собственные колебания системы, а второй, интегральный член - вынужденные колебания.

Так как Системы с одной степенью свободы - student2.ru , то решение (20.5) преобразуется и принимает вид:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.9)

Здесь приняты следующие обозначения:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru ; Системы с одной степенью свободы - student2.ru ; Системы с одной степенью свободы - student2.ru . (20.10)

Если в момент времени t = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. Системы с одной степенью свободы - student2.ru , то решение (20.9) с учетом (20.10) преобразуется в виде:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru .

Величина kД называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P0 = const.

Коэффициент динамичности существенно зависит от отношения Системы с одной степенью свободы - student2.ru . При Системы с одной степенью свободы - student2.ru коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при Системы с одной степенью свободы - student2.ru называются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru .

Пример расчета балки в виде системы с одной степенью свободы

Проверить прочность балки в рабочем режиме вибратора, расположенного по середине пролета балки (рис.20.2, а), учитывая только вертикальную составляющую вертикальной силы: Системы с одной степенью свободы - student2.ru , принимая: G = 15 кН - вес вибратора; Р0 = Pa = 3 кН - вес не­уравновешенных частей вибра­тора; e = 0,01 м - эксцентриситет относительно оси вращения неуравновешенных частей; Системы с одной степенью свободы - student2.ru = 30 с-1 - круговая частота внешней силы; l = 4 м - пролет балки. Поперечное сечение балки выполнено из двутавра №20, материал Ст3. Следовательно, Е=2,1×108 кН/м2 - модуль деформации материалов; Jx =1,84×10-5 м4 - момент инер­ции; Wx = 1,84×10-4 м3 - момент сопротивления поперечного сечения; R = 25×104 кН/м2 - расчетное сопротивление; Системы с одной степенью свободы - student2.ru = 0,1 - логарифмический декремент. Интенсивность распределенных нагрузок принимается равной: q = 4 кН/м.

На первом этапе для выполнения расчетов необходимо определить величину коэффициента динамичности. Для этого сначала определим величину коэффициента затухания Системы с одной степенью свободы - student2.ru .

Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис.20.2, б и по формуле Мора определим Системы с одной степенью свободы - student2.ru :

Системы с одной степенью свободы - student2.ru .

Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru Системы с одной степенью свободы - student2.ru c-1.

Системы с одной степенью свободы - student2.ru

Рис.20.2

Собственная частота системы с учетом затухания колебания принимает значения:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru c-1.

Коэффициент динамичности определяется из (14.10) по формуле:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru

Системы с одной степенью свободы - student2.ru .

Последовательно определим максимальное значение момента в опасном сечении (рис.20.2, в, г) от статических и динамических сил:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru кН×м;

Системы с одной степенью свободы - student2.ru кН×м.

Максимальное напряжение в опасном сечении принимает значение:

Системы с одной степенью свободы - student2.ru кН/м2,

т.е. прочность конструкций обеспечена.

Наши рекомендации