Системы с одной степенью свободы
Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная материальная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может совершать перемещения только в вертикальном направлении, следовательно, система имеет одну степень свободы.
Рис.20.1
Будем исследовать движение системы из ее исходного положения равновесия при t = 0 (рис.20.1, а), считая перемещение вниз положительным.
Пусть на балку действует динамическая сила величиной: , где - частота вынуждающей силы. Обозначая дополнительное перемещение массы m от динамических нагрузок через y(t), вводим следующие начальные условия:
; . (20.1)
В процессе движения на массу действует сила инерции и сила сопротивления по Фойхту . Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, трение в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.
Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего сопротивления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной.
Вводим следующие обозначения: - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке; - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы , при этом: ; - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы при ее отсутствии.
Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произвольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение:
, (20.2)
откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы:
. (20.3)
Принимаем обозначения: - круговая частота собственных колебаний системы; - коэффициент затухания.
С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (14.3) принимает вид:
. (20.4)
Решение дифференциального уравнения (20.4), с учетом начальных условий (20.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется , записывается в виде:
. (20.5)
Здесь приняты следующие обозначения:
; ; . (20.6)
Круговая частота называется круговой частотой собственных колебаний системы с учетом сил затухания.
Коэффициент затухания колебания определяется по корректированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наиболее обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:
, (20.7)
где - называется логарифмическим декрементом затухания и определяется через отношения соседних амплитуд колебания, возникающих через промежуток времени :
. (20.8)
Для различных конструкций средние значения приводятся в таблице 20.1.
Таблица 20.1
Наименование конструкции | |
Стальные мосты Железобетонные мосты Железобетонные балки Железобетонные рамы Железобетонные ребристые перекрытия | 0,17 0,63 0,56 0,25 0,57 |
Выражение (20.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы , изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения характеризует собственные колебания системы, а второй, интегральный член - вынужденные колебания.
Так как , то решение (20.5) преобразуется и принимает вид:
. (20.9)
Здесь приняты следующие обозначения:
; ; . (20.10)
Если в момент времени t = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. , то решение (20.9) с учетом (20.10) преобразуется в виде:
.
Величина kД называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P0 = const.
Коэффициент динамичности существенно зависит от отношения . При коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при называются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение:
.
Пример расчета балки в виде системы с одной степенью свободы
Проверить прочность балки в рабочем режиме вибратора, расположенного по середине пролета балки (рис.20.2, а), учитывая только вертикальную составляющую вертикальной силы: , принимая: G = 15 кН - вес вибратора; Р0 = Pa = 3 кН - вес неуравновешенных частей вибратора; e = 0,01 м - эксцентриситет относительно оси вращения неуравновешенных частей; = 30 с-1 - круговая частота внешней силы; l = 4 м - пролет балки. Поперечное сечение балки выполнено из двутавра №20, материал Ст3. Следовательно, Е=2,1×108 кН/м2 - модуль деформации материалов; Jx =1,84×10-5 м4 - момент инерции; Wx = 1,84×10-4 м3 - момент сопротивления поперечного сечения; R = 25×104 кН/м2 - расчетное сопротивление; = 0,1 - логарифмический декремент. Интенсивность распределенных нагрузок принимается равной: q = 4 кН/м.
На первом этапе для выполнения расчетов необходимо определить величину коэффициента динамичности. Для этого сначала определим величину коэффициента затухания .
Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис.20.2, б и по формуле Мора определим :
.
Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий:
c-1.
Рис.20.2
Собственная частота системы с учетом затухания колебания принимает значения:
c-1.
Коэффициент динамичности определяется из (14.10) по формуле:
.
Последовательно определим максимальное значение момента в опасном сечении (рис.20.2, в, г) от статических и динамических сил:
кН×м;
кН×м.
Максимальное напряжение в опасном сечении принимает значение:
кН/м2,
т.е. прочность конструкций обеспечена.