II. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза

1. Поместить на держатель груз. Значение массы груза с держателем и результаты последующих измерений занести в таблицу 2. Измерить секундомером время 10 полных колебаний маятника. Опыт повторить не менее 4 раз. Найти среднее значение времени 10 полных колебаний и среднее значение периода колебаний (n=10), при расчетах оставляя на одну значащую цифру больше, чем в результатах наблюдений.

2. Подобные измерения провести для различных значений масс грузов.

Таблица 2

№ п/п	Масса груза с держа-телем m, кг	Время 10 полных колебаний	,с	,с	,с
		,с	,с	,с	,с

III. Определение коэффициента жесткости пружины методом колебаний

Графический метод

1. По результатам проведенных измерений построить проходящий через начало координат график зависимости квадрата периода колебании от массы m, предварительно рассчитав , для каждого значения m. Выбрав одну из полученных в эксперименте точек, лежащую на усредненной прямой, рассчитать коэффициент жесткости пружины по формуле

2. Оценить погрешность полученного результата. В пред­положении, что ошибка в определении числа колебаний отсут­ствовала, эту погрешность можно рассчитать по формуле

.

Ошибка определения времени 10 колебаний определяется как

.

Систематическую погрешность определения времени , связанную с конечной скоростью реакции человека, можнопринять равной0,1 с (т. к. непосредственноприборной ошибкой в нашем случае можно пренебречь по сравнению с этой величиной).

Случайную ошибку следует рассчитать по методу Стьюдента:

.

Для числа колебаний n=4 и доверительной вероятности P=0,95 a=3,2 Окончательный результат записать в таблицу 2. Сравнить полученное значение коэффициента жесткости пружины с результатом, полученным ранее.

Расчет коэффициента жесткости с использованием ЭВМ

(задание для УИРС)

Из теории пружинного маятника следует (см. формулу 5), что график зависимости представляет прямую, проходящую через начало координат. Для построения этой прямой наилучшим образом следует воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК). Специальная программа для ЭВМ позволит рассчитать и стандартное отклонение .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

j1. Какие деформации называются упругими? Сформулируйте закон Гука.

2. Какие колебания называются свободными?

3. Составьте дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине. Какой вид имеет решение этого уравнения?

4. Получите формулу для периода колебаний пружинного маятника.

5. Чем можно объяснить различие в значениях коэффициента жесткости, полученных разными методами?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. Курс физики,-М.: Высш. шк., 2000.

2.И. В. Савельев. Курс физики.- М.: Наука -1998 -Т. 2.

3.Методические указания к вводному занятию по физическому практи - куму. – М.: Изд. МИИТ, 1995.

Работа 5

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебании и приведенной длине.

Введение

Физическим маятником называется любое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т. е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 4 точка О — обозначает горизонтальную ось вращения, точка В — центр тяжести физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр тяжести совпадают.

Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий момент, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Численное значение этого момента определяется соотношением

(1)

где m—масса физического маятника, d—кратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, —угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого связано с направлением поворота тела из положения равновесия в заданное правилом правого винта.

Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1) примет вид

. (1а)

При малых углах можно принять , если выражено в радианах, и записать формулу (1а) следующим образом

. (2)

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где J — момент инерции тела относительно оси вращения, а —угловое ускорение, причем .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

. (4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

, (5)

где , а и —постоянные, определяемые начальными условиями.

Величины и называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а a₀—начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина w₀ собственной циклической частотой колебания. По истечении времени фаза получает приращение , а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина

T₀ называется собственным периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

.

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

. (7)

Это и есть формула приведенной длины физического маятника.

Методы измерений и описание аппаратуры

Прибор, используемый в данной работе, представляет собой настенный кронштейн, на котором смонтированы подушки для опорных призм физического маятника. На том же кронштейне подвешен математический маятник, длину которого можно изменять, наматывая нить на соответствующий барабанчик. Физический маятник представляет собой цилиндрический стержень (рис. 5), на котором жестко закреплены две призмы 1 и 2. На стержне находятся также два тяжелых груза 3 и 4 в форме чечевиц, один из которых (3) закреплен, а другой может перемещаться по шкале и закрепляться в нужном положении. Расстояние между опорными призмами равно 0,730 м. Масса маятника m=10,55 кг (Δm=0,01 кг).

Один из методов определения момента инерции маятника относительно оси, проходящей через опорную призму, сводится к определению периода колебаний T маятника относительно этой оси, массы m и расстояния d от центра тяжести до оси (см. формулу (6) для ). В этом случае момент инерции маятника вычисляется по формуле

. (8)

Положение центра тяжести определяется с помощью дополнительной призмы балансировки.

Кроме этого метода, на практике часто используется метод определения момента инерции по приведенной длине физического маятника. Приведенную длину находят из опыта, подбирая такой математический маятник, который колеблется синхронно с данным физическим. Определив длину математического маятника находят момент инерции по формуле

(9)

Приборы и принадлежности: физический маятник, матема­тический маятник, секундомер, линейка, штангенциркуль, призма балансировки.

Порядок выполнения работы

Первый метод. Подвесив маятник на призме 1 (см. рис.5), отклонить его на небольшой угол ( 10 градусов) и измерить секундомером время 10 колебаний. Измерения произвести 5 раз. Затем произвести аналогичные измерения, подвешивая маятник на призме 2. Данные занести в табл. 1. Вычислить , а затем найти период по формуле . Результаты занести в табл. 1.

Положение оси вращения	Расстояние от оси вращения до центра тяжести d,м	Время 10 колебаний, с	tср, с	Среднее значение периода колебаний Тср,с
Призма 2
Призма 2

Для определения расстояния d от центра тяжести до оси вращения снять маятник с опоры и положить на специальную подставку (призму балансировки). На подставке, которая имеет острую грань, маятник необходимо уравновесить. Расстояние от точки, находящейся над гранью призмы балансировки, до опорной призмы измерить масштабной линейкой с точностью до 0,001 м. Затем рассчитать момент инерции по формуле (8). Результат занести в табл.3.

Таблица 2

Положение оси вращения	Расстояние от шарика до точки подвеса, м	Радиус шарика, м	,м
Призма 1
Призма 2

Таблица 3

Положение оси вращения	Момент инерции физического маятника J, кг·м2
	по методу колебаний	по методу приведенной длины
Призма 1
Призма 2

Второй метод. Изменяя длину математического маятника, добиться того, чтобы он колебался синхронно с физическим. Полного совпадения периодов обоих маятников добиться нелегко. Поэтому следует, постепенно меняя длину нити математического маятника, добиться того, чтобы маятники колебались синхронно в течение 10—15 колебаний. Измерить расстояние от шарика до точки подвеса. Длина математического маятника равна этому расстоянию плюс радиус шарика (диаметр шарика измеряется штангенциркулем). Ее можно считать приведенной длиной физического маятника. Результаты занести в табл. 2. Момент инерции вычислить по формуле (9) и результат занести в табл.3.

Подобные измерения и расчеты повторить, подвешивая маятник на второй призме.

Оценка погрешности определения момента инерции

1. Найти и сравнить систематическую и случайную ошибки определения t. Случайную ошибку вычислить по формуле

.

Для доверительной вероятности P=0.95 и числа измерений N=5, a=2.8.

Систематическая ошибка определяется классом точности прибора и ошибкой, связанной с конечной скоростью реакции человека, которую можно принять равной 0,1с. В нашем случае непосредственно приборной ошибкой можно пренебречь по сравнению с этой величиной и считать систематическую ошибку равной Δt_сист 0,1с, а полную ошибку рассчитать по формуле

Dt=ÖDt²_сист+D t²_случ.

2. Рассчитать и занести в таблицу 4 относительные ошибки определения величин t, m и d.

Таблица 4

Положение оси вращения				кгм2 (метод колебаний)	J кгм2 (метод приведенной длины)
Призма 1
Призма 2

3. Рассчитать максимальную абсолютную ошибку определения момента инерции по формуле

.

Результат определения момента инерции с указанием абсолютной ошибки занести в таблицу 4.

Примечание. Значения величин g и p известны с большой точностью, и следовательно относительные ошибки, вносимые округлением этих величин, могут быть сделаны как угодно малыми, т. е. заведомо меньшими, чем ошибки измерения остальных величин m, d, t . Практически это означает, что при вычислениях значения g и p достаточно принять равными 9,81 м/с² и 3,14 соответственно.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение гармонических колебаний.

2. Что называется математическим маятником, физическим маятником?

3. Что называется приведенной длиной физического маятника?

4. Как выводится формула периода колебаний физического маятника ?

5. Найдите момент инерции физического маятника, используемого в данной работе, относительно оси, проходящей через центр масс.

CПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики -М.: Высш. шк.,2000.

2. Савельев И. В. Курс физики -М.: Наука, 1998.-Т. 2.

3. Методические указания к вводному занятию по физическому практикуму.-М.: Изд. МИИТ, 1995.

Работа 5а