Физический смысл условий пластичности. Геометрический смысл условий пластичности.

Физический смысл:

В теории пластичности показывается, что количество удельной потенциальной энергии упругой деформации формы элемента при переходе его в пластическое состояние является для данных условий деформации (степени, скорости и температуры деформации) величиной постоянной независимо от схемы напряженного состояния.

В связи с этим условие пластичности называется энергетическим.

Геометрический смысл:

Если в условии пластичности рассматривать , , как текущие координаты, то это выражение будет описывать поверхность неограниченного по длине цилиндра с радиусом .

Если главные нормальные напряжения в каком-либо элементе тела таковы, что они определяют точку, лежащую на поверхности, то этот элемент будет находится в пластическом состоянии. Поверхность цилиндра – предельная поверхность пластической деформации по энергетическому условию пластичности.

Если определится точка внутри цилиндра, то элемент будет в упругом состоянии. Если вне поверхности цилиндра, то комбинации напряжений не будут иметь физического смысла.

Чем больше напряжение текучести, тем больше радиус цилиндра.

Задание напряжений в точке деформируемого тела. Главные нормальные напряжения. Девиатор и шаровой тензор.

Все напряжения, определяющие напряженное сос­тояние в рассматриваемой точке деформируемого тела, можно записать в виде симметричной квад­­ратной таблицы (матрицы), называемой тен­зором напряжений:

В строках тензора содержатся напряжения, направление которых параллельно соответственно координатным осям x,y, z, а в столбцах – напряжения, действующие на площадке, нормаль к которой парал­лельна оси x, или y, или z.

Если этот тензор отнести к главным оcям напряжений, то его запи­сывают в виде диагональной матрицы

* *

Тензор напряжений можно разложить на шаровой тензор напряжений и тензор девиатор напряжений :

σ_ср σ_ср σ_ср

– среднее напряжение.

Шаровой тензор напряжений связан с изменением объема, а девиатор напряжений – формы.

9. Инварианты тензора напряжений, интенсивность напряжений, октаэдрические напряжения. Роль касательных напряжений в пластической деформации.

Инварианты тензора напряжений

При изучении напря­женно-деформированного состояния тела обычно используют не сами тензоры, а их инварианты, т. е. такие комбинации компонентов тензо­ров напряжений, которые не меняют своих значений при повороте осей.

Доказано, что главные напряжения , , являются корнями кубического уравнения

где I₁(T), I₂(T), I₃(T)– некоторые коэффициенты

Поскольку главные напряжения не зависят от выбора осей коорди­нат, то и коэффициенты I₁, I₂, I₃ кубического уравнения также инвари­антны. Поэтому их называют соответственно первым (линейным), вторым (квадратичным) и третьим (кубическим) инвариантом тензора напряжений:

Интенсивности напряжений

В теории пластичности большое значение имеют вторые инварианты девиа­тора напряжений, которые являются суммарной характеристикой изменения формы элемента тела.В практических условиях более удобно пользоваться не самими инвариантами, а некоторыми величинами, пропорциональными корню квадратному из них. Эти величины называют интенсивностями напряжений.

Интенсивности нормальных и касательных напряжений соответственно равны:

В развернутом виде эти соотношения записываются так:

ОКТАЭДРИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ - напряжения, действующие на площадке, равнонаклоненной к трем главным площадкам (октаэдрической площадке)

Октаэдрические напряжения играют важную роль при вычислении эквивалентных напряжений при сложном напряженном состоянии; они применяются также в теории пластичности для формулировки критериев текучестиТаким образом, использованиеоктаэдрических напряжений позволяет охарактеризовать напряженное состояние в точке двумя компонентами, при этом в случае одноосных растяжения или сжатия интенсивность касательных напряжений совпадает по величине с соответствующим главным напряжением, что удобно при расчетах и испытаниях на прочность твердых тел.