Геометрический и физический смысл
Производной
Геометрически производная 
функции 
представляет угловой коэффициент 
касательной к графику этой функции в точке 
.
Если на плоскости задана точка 
и кривая как график явной функции 
то:
- уравнение касательной в точке с абсциссой ,
, 
- уравнение нормали в точке с абсциссой . Если 
, то уравнения касательной и нормали имеют вид соответственно: 
, 
.
При параметрическом задании кривой 
уравнения касательной и нормали записываются соответственно:
, 
,
, 
.
Угол между кривыми 
и 
в точке их пересечения 
– это угол между касательными к этим кривым в точке . Этот угол находится по формуле: 
.
Если в точке производная не определена, но функция имеет различные односторонние пределы 
и 
, то в этой точке графика функции существуют две различные с соответствующими угловыми коэффициентами 
, 
односторонние касательные, составляющие угол, а точка называется угловой.
Если 
, т.е. функция имеет бесконечную производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом случае график функции имеет вертикальную касательную (точка перегиба).
Если в точке 
функция имеет бесконечные односторонние производные разных знаков, то график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (асимптоты).
Если при прямолинейном движении точки задан закон движения 
, то скорость движения в момент 
есть производная пути по времени: 
, ускорение в момент есть 
.
При движении точки по окружности: угловая скорость вращения 
в данный момент равна производной от угла поворота 
по времени: 
. Угловое ускорение точки есть первая производная от угловой скорости 
или вторая производная от угла поворота по времени 
.
Сила тока в данный момент времени равна производной от количества протекшего электричества по времени: 
.
Химическое истолкование производной. Пусть 
- концентрация вещества, получаемого в ходе химической реакции в момент времени 
. Тогда 
- скорость реакции в момент .
Пример 1. В точках пересечения эллипсов 
, 
найти угол между ними.
Решение: Эллипсы расположены симметрично относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим только первый квадрат координатной плоскости.
Решив систему 
найдем точку пересечения эллипсов 
. Из уравнения первого эллипса получаем 
, т.е. 
. Следовательно 
. Аналогично, для второго эллипса получим 
. По формуле 
, 
получим: 
.
Итак, эллипсы пересекаются в четырех точках под углом 
, т.е. под углом, равным приблизительно 
.
Пример 2. Высота 
снаряда, вылетевшего с начальной скоростью 
под углом 
к горизонту, изменяется по закону 
, где - время, 
- ускорение силы тяжести. В какой момент скорость изменения высоты снаряда над горизонтом равна нулю?
Решение: Вычислим производную функции 
.
Следовательно, скорость изменения высоты снаряда нал горизонтом равна нулю при 
.
Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
1. 
, 
.
2. 
, 
. Ответ: 
, 
.
3. 
, 
.
4. 
.
5. к эллипсу 
, 
.
6. 
, 
. Ответ: 
.
7. 
; 
. Ответ: 
.
8. 
, . Ответ: 
.
9. 
, 
. Ответ: 
.
10. 
, . Ответ: .
11. 
, 
. Ответ: 
.
12. 
, 
. Ответ: 
.
13. 
, 
. Ответ: 
.
14. 
Ответ: 
.
15. 
. Ответ: 
.
16. Найти углы, под которыми пересекаются линии, заданные уравнениями 
и 
. Ответ: 
, .
17. Найти угол между кривыми:
a) 
и 
. Ответ: 
.
b) 
и 
. Ответ: 
.
Найти углы, под которыми график функции 
пересекает ось абсцисс:
18. 
. Ответ: 
.
19. . Ответ: В точках 
синусоида
пересекает ось абсцисс под углом 
.
20. 
. Ответ: В точках 
угол 
,
в точках 
угол 
.
21. 
. Ответ: 
.
22. 
.
Ответ: в точке угол 
, в точке 
угол 
.
23. 
. Ответ: 
.
24. 
. Ответ: 
.
25. 
.
Ответ: в точках и 
угол 
,
в точке 
угол 
.
26. 
.
Ответ: в точке угол 
,
в точке угол 
.
27. 
Ответ: 
.
28. 
Ответ: 0.
29. 
.
Ответ: в точке 
угол ,
в точке угол .
Найти точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс:
30. 
. Ответ: (-1;14), (2;-13).
31. 
. Ответ: (0;-1), (1;-6), (-2;-33).
32. 
. Ответ: (-1;-58), (1;54), (7;-2106).
33. 
. Ответ: 
.
34. 
. Ответ: 
.
35. 
. Ответ: 
.
36. 
. Ответ: 
.
37. 
Ответ: 
.
38. 
. Ответ: 
.
39. На кривой 
найти точку 
, в которой касательная параллельна прямой . Ответ: 
.
40. Найти точку линии 
, в которой касательная перпендикулярна прямой 
, составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж. Ответ: 
.
41. Точка движется вдоль прямой по закону 
. Найти скорость и ускорение точки в момент времени 
.
Ответ: 
.
42. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан формулой 
. Найти угловую скорость и ускорение при 
.
Ответ: угловая скорость равна 
,
а угловое ускорение не зависит от времени и равно 
.
Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:
43. 
, 
. Ответ: 
.
44. , 
. Ответ: 
.
45. 
, 
. Ответ: 
.
46. 
, 
. Ответ: 
.
47. 
, 
. Ответ: 
.
48. , 
. Ответ: 
.
49. 
, . Ответ: 
.
50. 
, 
. Ответ: 
.
51. 
и 
. Ответ: 
.
52. 
и 
. Ответ: 
.
53. Найти уравнение нормали к эллипсу 
в точке 
. Ответ: 
.
54. Найти уравнение нормали к гиперболе 
в точке 
.
Ответ: 
.
Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:
55. Спирали Архимеда 
. Ответ: 
.
56. Гиперболической спирали 
. Ответ: .
57. Логарифмической спирали 
. Ответ: 
.
58. Кардиоиды 
. Ответ: 
.
59. Дуги лемнискаты Бернулли 
. Ответ: 
.
60. Точка движется по параболе 
так, что ее абсцисса изменяется по закону 
( 
измеряется в метрах, - в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения? Ответ: 
.
61. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 
. Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 
? Ответ: 0,05 
.
62. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения. Ответ: 
.
63. По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения: 
и 
. С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи ( измеряется в метрах, - в секундах)? Ответ: 
.
64. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3 
. Определить скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4м.
Ответ: 
.
65. Под каким углом пересекаются кривые 
и 
в точке (1;1)? Ответ: 
.
66. Определить среднюю скорость изменения функции 
на отрезке 
. Ответ: 
.
67. Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой . Ответ: 
.
68. Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде 
в точке с полярным углом 
.
Ответ: 
, 
.
69. Точка движется по спирали Архимеда так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна 
в секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса 
, если 
. Ответ: 
.
Правило Лопиталя
Пусть в некоторой окрестности точки функции и 
дифференцируемы и 
. Если 
или 
, т.е. частное 
в точке представляет собой неопределенность вида 
или 
, то
, если предел в правой части этого равенства существует.
Другими словами: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, если 
.
Если частное 
в точке также есть неопределенность вида или и производные 
и 
удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
В случае неопределенности вида 
или 
следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида или и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида 
или 
, или 
следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Замечание: В правой части формулы Лопиталя берется отношениепроизводных, а не производная отношения.
Пример 1. Найти 
.
Решение: Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим: 
.
Пример 2. Найти 
.
Решение: 
.
Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз.
.
Пример 3.Найти 
.
Решение: Имеем неопределенность вида . Переписывая выражение в виде 
, получим неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим 
.
Замечание: Если имеется неопределенность вида или при вычислении предела функции 
, то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида . При этом 
.
Пример 4. Найти 
.
Решение: 
, т.к. 
.
Отсюда 
.
Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия неопределенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.
Пример 5. Найти 
.
Решение: Если применить правило Лопиталя, то получим
,
т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами. Неопределенность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначальный вид. Таким образом, использование правила Лопиталя в данном случае не позволит раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что 
.
Пример 6. Найти 
.
Решение: Если применить правило Лопиталя, т.е.
,
то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной функции не существует, т.к. не существует 
. На самом деле 
, т.к. 
(произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию).
Пример 7. Найти 
.
Решение: Если 
, то имеем неопределенность . Прологарифмируем данную функцию
.
Получим: 
.
Далее: 
.
Следовательно, 
или 
.
Найти пределы следующих функций:
Неопределенность вида .
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 18.
5. 
. Ответ: 
.
6. 
. Ответ: 0,18.
Неопределенность вида .
1. 
. Ответ: 1.
2. 
, 
. Ответ: 0.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 0.
Неопределенность вида .
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 1.
3. 
Ответ: 0.
Неопределенность вида .
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: .
Неопределенности вида 
, 
, 
.
1. 
. Ответ: 1.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 2.
4. 
. Ответ: 
.
Самостоятельная работа
Найти пределы:
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: .
5. 
. Ответ: 
.
6. 
. Ответ: 1.
7. 
. Ответ: 
.
8. 
. Ответ: .
9. 
. Ответ: 
.
10. 
. Ответ: 
.
11. 
. Ответ: 1.
12. 
. Ответ: 3.
13. 
. Ответ: 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
Примерный вариант контрольной работы
1. Найти 
:
a) 
, b) 
, c) 
,
d) 
e) 
.
2. Найти 
: a) 
, b) 
3. Составить уравнения касательных и нормалей в указанных точках к следующим кривым:
a) 
, , b) 
.
4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
при заданном значении 
: 
, 
.
5. Вычислить 
с помощью правила Лопиталя.