Постулаты квантовой информатики

Постулаты квантовой информатики должны вскрывать наиболее глубокие и наиболее фундаментальные идеи квантовой теории. Существуют различные точки зрения на то, какие понятия квантовой теории следует считать основными. В этой связи представляется интересным проследить эволюцию взглядов П. Дирака на парадигму квантовой физики. Именно Дирак еще в 1930 г. в своих выдающихся «Принципах квантовой механики» [48], по признанию фон Неймана, «дал столь краткое и элегантное изложение квантовой механики,…что оно вряд ли может быть превзойдено…» ([49], с.10). Отметим, что подобных же восторженных взглядов на формулировку Дираком основных положений квантовой теории придерживались и другие известные ученые. Тем ценнее то, что пишет сам Дирак в 1972 г. об эволюции собственных взглядов в работе «Теория относительности и квантовая механика» [50]:

«Возникает вопрос, действительно ли некоммутативность является главной новой идеей квантовой механики. Ранее я всегда полагал, что это так, но недавно я начал сомневаться в этом и думать, что, может быть, с физической точки зрения некоммутативность не является единственной важной идеей, и, возможно, существует некая более глубокая идея, некое более глубокое изменение наших обычных представлений, которое привносит квантовая механика» ([50], с.148).

Заметим, что идея некоммутативности была очень близка Дираку. Ведь именно она позволила ему сформулировать понятие квантовых скобок Пуассона взамен аналогичных классических скобок и, таким образом, очень красиво и элегантно преобразовать классическую механику в квантовую. И вот теперь, спустя более сорока лет после своих пионерских работ, Дирак приходит к выводу, что существует более глубокая по сравнению с некоммутативностью идея, и эта идея связана с существованием амплитуд вероятности. Нижеследующие слова Дирак выделяет курсивом: «Я полагаю, что понятие амплитуды вероятности, по-видимому, является наиболее фундаментальным понятием квантовой теории» ([50], с.148).

Интересно задать вопрос: как изменились бы «Принципы квантовой механики», если бы при их написании молодой Дирак придерживался таких же взглядов, к которым он пришел в зрелом возрасте? Анализ данного вопроса показывает, что для преобразования классической механики в квантовую не обязательно исходить из процедуры канонического квантования Дирака, в основе которой лежат квантовые скобки Пуассона. Достаточно придерживаться концепции амплитуд вероятностей и статистического требования соответствия в среднем результатов новой и старой теорий [30, 51, 52]. Этот вопрос рассматривается подробнее в следующем разделе.

Опираясь на изложенное выше, сформулируем первым следующий постулат.

Постулат 1. Основной объект квантовой информатики – квантовая система. Поведение квантовой системы полностью описывается амплитудами вероятностей. Амплитуды вероятностей образуют вектор состояния в гильбертовом пространстве.

Гильбертово пространство является линейным векторным пространством. Свойство линейности предполагает выполнение принципа суперпозиции. Это означает, что если и - векторы, описывающие некоторые состояния системы, то и их произвольная линейная комбинация (где - произвольные комплексные числа) также есть возможное состояние системы (принцип суперпозиции).

Вектор состояния как геометрический объект в гильбертовом пространстве может быть задан в различных эквивалентных представлениях, унитарно связанных между собой подобно тому, как поведение объектов в обычном евклидовом пространстве можно описать в различных координатах, связанных между собой ортогональными преобразованиями. Эти соображения лежат в основе следующего постулата.

Постулат 2. Амплитуды вероятностей как координаты вектора состояния в гильбертовом пространстве могут быть заданы в различных эквивалентных представлениях. Эквивалентные представления связаны друг с другом унитарными преобразованиями. Унитарное преобразование во времени описывает эволюцию квантовой системы.

Унитарное преобразование может быть записано символически следующим матричным равенством:

Любая унитарная матрица может быть представлена в виде матричной экспоненты

,

где - эрмитова матрица.

В силу однородности времени, унитарное преобразование во времени должно удовлетворять условию:

Матричная экспонента, удовлетворяющая условию однородности во времени, должна иметь вид:

Введенный таким образом эрмитов оператор называется гамильтонианом.

Из последнего соотношения следует, что унитарная эволюция квантовых состояний должна определяться уравнением Шредингера:

Вектор состояния является объективной статистической характеристикой квантовой системы и должен допускать возможность экспериментального изучения. Для такого изучения, однако, нужен не один, а множество представителей квантового статистического ансамбля. В таком ансамбле каждый представитель приготовлен по одному и тому же рецепту и, таким образом, находится в одном и том же квантовом состоянии. Нам недостаточно проводить измерения в каком- либо одном базисе. Нужно проводить измерения в различных унитарно- связанных между собой базисах. Результаты таких измерений регулируются следующим постулатом.

Постулат 3. Измерения, проводимые в различных унитарно связанных друг с другом базисных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных статистических распределений. В фиксированном представлении квадрат модуля амплитуды вероятностей задает вероятность обнаружения квантовой системы в соответствующем базисном состоянии.

Постулаты 2 и 3 тесно связаны друг с другом и образуют единое целое. С одной стороны, Постулат 3 служит тому, чтобы «материализовать» результаты преобразований, о которых говорится в Постулате 2. С другой стороны, проводя измерения согласно Постулату 3, мы должны позаботиться о том, чтобы такие измерения давали наиболее полную картину явлений. Этого нельзя добиться, если ограничиться только каким- либо одним представлением. Таким образом, для того, чтобы провести измерения согласно Постулату 3, нужно использовать и Постулат 2, осуществляя переход между различными представлениями. Для каждого представителя статистического квантового ансамбля мы должны сделать выбор: провести измерение в исходном представлении или перейти путем унитарного преобразования к другому представлению и только потом провести измерение. Только совокупность измерений в различных взаимно- дополнительных представлениях способно дать полную картину для квантового состояния с экспериментальной точки зрения.

В изложенных выше соображениях мы предполагаем, что однажды измеренный представитель, далее не измеряется. Если бы мы даже провели такое измерение, то оно бы несло информацию не об исходном квантовом состоянии, а о состоянии, возникшем в результате первого измерения. В этом состоит свойство редукции квантовых состояний. «Однако даже при усердии одного яйца два раза не высидишь» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №258).

При рассмотрении квантовых состояний составных систем мы естественно приходим к понятию тензорного произведения пространств состояний отдельных подсистем. Рассмотрим для примера систему из двух двухуровневых квантовых систем (квантовых битов- кубитов). Естественно предположить, что данная система в качестве возможных состояний должна содержать следующие четыре базисные состояния:

- оба кубита в состоянии ,

- первый кубит в состоянии , второй в состоянии ,

- первый кубит в состоянии , второй- в состоянии ,

- оба кубита в состоянии .

Указанные четыре базисных вектора порождают гильбертово пространство размерности 4. Это означает, что система из двух кубитов может находиться не только в одном из указанных состояний, но и в любом состоянии суперпозиции

Такого рода соображения делают естественным следующий постулат.

Постулат 4.Пространство состояний составной системы образовано тензорным произведением пространств состояний отдельных систем.

Например, кубитов, рассматриваемые как единая квантовая система, порождают базисных состояний и, соответственно, гильбертово пространство размерности . Произвольный вектор состояния в таком пространстве определяется комплексными амплитудами вероятности. Заметим, что если бы каждый кубит описывался некоторым состоянием независимо от остальных, то всего было бы комплексных амплитуд вероятности, что гораздо меньше при больших . Разность обусловлена специфическим квантовым ресурсом, называемым запутанностью (entanglement). Квантовое состояние системы называется запутанным, если оно не сводится к состояниям отдельных подсистем. Именно запутанность призвана сделать квантовые компьютеры экспоненциально более мощными по сравнению с их классическими собратьями.

Заметим, что Постулат 4 делает неизбежной вероятностную реализацию квантовой информационной модели. Действительно, например, для регистра из кубитов, имеет место состояние, описываемое комплексными числами. Для Вселенной, имеющей в своем распоряжении «только» нуклонов, нет никакой возможности записать подобное состояние детерминированным образом на каком- либо материальном носителе.

Постулат 4 позволяет нам на более высоком уровне вернуться к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей (предварительно этот вопрос уже обсуждался в разделе 1.3).

Отметим следующую принципиальную разницу между описанием с помощью распределения вероятностей и с помощью вектора состояния.

Предположим в рамках классической теории вероятностей, что переменные связаны между собой распределением вероятностей . Наличие такого распределения никак не исключает возможного существования дополнительных переменных , с которыми исходные переменные находятся в отношении статистической зависимости. Напомним, что рассматриваемые переменные являются статистически зависимыми, если совместное распределение размерности несепарабельно (нефакторизуемо), т.е. не может быть представлено в виде произведения распределений размерностей и . Для статистически зависимых систем имеем:

.

На менее формальном языке это свойство означает следующее. Любые статистические связи, обнаруженные внутри исходных переменных на деле могут оказаться фикцией, поскольку истинные физические причины могут определяться не исходными, а дополнительными («скрытыми») переменными . Таким образом, любой классический статистический анализ не может сам по себе претендовать на получение объективных научных выводов. Высмеивая подобное положение дел, еще 100 лет назад Бернард Шоу писал, что статистики могут легко доказать, что ношение цилиндров удлиняет жизнь и дает иммунитет против болезней [38]. Отмеченный внутренний недостаток классической статистики хорошо известен, поэтому добросовестные исследователи рассматривают статистический анализ только как вспомогательное средство.

Примечательно, что квантовая теория не имеет аналогичного порока. Пусть переменные образует квантовое состояние . Тогда, исключена возможность статистической зависимости рассматриваемых переменных от любых других переменных во Вселенной (включая «скрытые» переменные внутри самой системы). Другими словами, расширение исходной системы путем включения любых дополнительных переменных будет обязательно приводить к сепарабельному совместному квантовому состоянию, т.е. всегда совместное квантовое состояние будет представляться в виде произведения независимых векторов состояний, когда Например, при введении спина в нерелятивистскую квантовую механику вектор состояния становится произведением координатной и спиновой функций. Понятно, что рассматриваемая факторизация состояния, приводящая к независимым «внутренним» и «внешним» переменным, возможна только как некоторая приближенная идеализация, справедливая только в пренебрежении некоторым относительно слабым взаимодействием (например спин- орбитальным). Заметим, что подобного рода идеализации и составляют основное содержание науки.

Предположим теперь, что, наоборот, рассматриваемое состояние несепарабельно (нефакторизуемо), т.е.

.

Тогда невозможно вообще приписать подсистемам и каких- либо векторов состояния. Такие системы не могут считаться независимыми замкнутыми системами, как бы далеко они не находились друг от друга. В квантовой информатике состояния указанного типа называются запутанными (entangled). Хорошо известный пример такого рода дают ЭПР состояния (состояния Эйнштейна, Подольского и Розена). Такие состояния впервые анализировались в знаменитой работе указанных трех авторов в 1935 г. в форме так называемого парадокса ЭПР [53]. Работа называлась «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным?» и была призвана показать несостоятельность квантовой теории. Парадокс, сформулированный авторами, заключается в том, что если имеются две частицы, которые взаимодействовали в прошлом, то, даже по прошествии сколь угодно большого времени по окончанию взаимодействия, эти частицы продолжают находиться в запутанном состоянии, характеризующимся специфической квантовой корреляцией. Так, производя измерения над одной из них, мы можем получить информацию и о второй частице. При этом частицы могут быть как угодно далеко разнесены в пространстве друг от друга. Таким образом, понятие замкнутости физической системы в квантовой теории существенно отличается от аналогичного понятия в классической теории. Пространственная изолированность больше не может служить признаком замкнутости. Вместо этого в квантовой теории существует внутренний статистический критерий: полное внутренне замкнутое описание системы, независимое от значений любых других переменных (внешних по отношению к рассматриваемой системе или внутренних, но «скрытых»), возможно только для квантовых систем, описываемых вектором состояния. По иронии судьбы, ЭПР состояния, вопреки замыслу их авторов, являются важным аргументом в пользу (а никак не против) полноты квантовой теории. Подробнее ЭПР состояния будут рассмотрены в разделах 4.8- 4.10.

Изложенные соображения позволяют говорить о неполноте классической (колмогоровской) теории вероятностей и полноте квантовой. Заметим, что неполнота аксиоматики Колмогорова является известным фактом, который, однако, обычно не рассматривается специалистами по классической теории вероятностей как недостаток (см., например, [54]). С точки зрения квантовой информатики, однако, неполнота классической теории вероятностей – это, совершенно определенно, её недостаток. Это недостаток устраняется (правда, только на формальном математическом уровне) путем расширения классического распределения вероятностей до квантового вектора состояния (как это описано выше). Заметим также, что неполное описание нередко применяется и в квантовой теории. Этому описанию соответствует математический аппарат так называемой матрицы плотности. Краткое описание понятия матрицы плотности будет дано в следующем разделе и Приложении к настоящей главе. Необходимость введения матрицы плотности обусловлена тем, что часто квантовая физическая система может взаимодействовать сложным (и неконтролируемым) образом со своим окружением. Заметим, что с формальной точки зрения любая матрица плотности может быть дополнена до чистого состояния, подобно тому, как плотность распределения может быть дополнена до вектора квантового состояния. Процедура дополнения матрицы плотности до чистого состояния рассматривается в Приложении к настоящей главе.