Постулаты квантовой механики

I В квантовой механике для описания состояния системы введена так называемая волновая функция. Эта функция рассматривается как функция координат, а также времени или .

Волновая функция может быть комплексной функцией, поэтому физический смысл имеет не сама функция, а квадрат ее модуля, он определяет вероятность нахождения частицы в элементе объема .

Волновая функция обладает следующими свойствами:

1. волновая функция нормирована:

(1)

– совокупность координат частицы, интегрирование проводится по всем координатам;

2. Волновая функция является однозначной функцией координат. Например если волновая функция зависит от сферического угла , то должно выполняться условие:

;

3. Частица не может находиться в бесконечности, поэтому удовлетворяется условие:

4. Волновая функция является непрерывной функцией координат. Если система состоит из невзаимодействующих частиц, то волновая функция этой системы представляется в виде произведения:

5. В квантовой механике удовлетворяется принцип суперпозиции.

Допустим различные состояния системы описываются волновыми функциями и в этих состояниях величина принимает значения , тогда линейная комбинация функций также будет описывать состояние системы:

.

II. Всякой физической величине ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор .

Например, координате ставится в соответствие оператор, который тождественно равен самой координате, функции - сама функция:

.

Составляющие импульса и оператора импульса:

.

В квантовой механике оператор импульса имеет вид:

Оператор кинетической энергии:

Оператор момента импульса:

Напишем выражения для составляющих оператора момента импульса в сферических координатах:

Запишем выражение в сферических координатах:

Оператор полной энергии частицы или системы.

Полной энергии частицы соответствует оператор , который называется оператором Гамильтона.Например, для электрона, движущегося в центральном поле ядра в атоме водорода, оператор Гамильтона имеет вид:

, -оператор кинетической энергии, -потенциальная энергия электрона.

III Постулат: Единственно возможным значением физической величины является собственное значение соответствующего оператора. Например, полная энергия частицы принимает только те значения, которые являются собственными значениями оператора Гамильтона. Эти значения являются решениями операторного уравнения:

, (1)

которое является основным уравнением квантовой механики. Оно было предложено Шредингером в 1926 г. и называется уравнением Шредингера. Решая это уравнение мы определяем волновую функцию рассматриваемой системы или частицы и ее полную энергию. В случае, когда оператор Гамильтона явно зависит от времени, уравнение Шредингера пишется в следующем виде:

(2)

Уравнение (1) наз. стационарным уравнением Шредингера, т.е. не зависящим от времени.

IV Постулат. Если произвести многократные измерения какой-либо динамической переменной системы, находящейся в состоянии с волновой функцией , то на основании результатов этих измерений можно определить ее среднюю величину. Эта средняя величина вычисляется с помощью формулы:

– оператор, соответствующий этой динамической переменной.. Если волновая функция - нормирована, т.е. удовлетворяется условие: =1, то среднее значение равно: .

V. Постулат: Величины и могут быть одновременно и точно измерены, если соответствующие им операторы и коммутируют между собой ,т.е. .

Напр., операторы и не коммутативны. Аналогично, и , и .

Этот означает, что величины и нельзя одновременно измерять.

Эти соотношения показывают, что, например, при точном измерении координаты , – остается неопределенным.

Соотношение неопределенности для энергии и времени имеет вид:

Напишем соотношения для коммутативных операторов: