Постулаты квантовой механики

Квантовая механика строится на дедуктивном принципе, её математический аппарат основан на постулатах. В физических курсах квантовой механики общепринятой принимается аксиоматика, содержащая три постулата: постулат состояния, постулат соответствия и постулат причинности.

I. Постулат состояния: состояние квантовой системы описывается с помощью комплексной функции , называемой «волновой», квадрат модуля которой есть плотность вероятности

.

Из постулата состояния следует, что вероятность обнаружить частицу в бесконечно малом элементе объёма dV определяется выражением

, (1)

которое позволяет вычислять по заданной волновой функции вероятность нахождения частицы в заданном объёме :

.

Например, в одномерном случае интеграл даёт вероятность нахождения частицы на отрезке от x₁ до x₂. Если интегрирование производится по бесконечному объёму , то есть вероятность достоверного события, т.е. , из чего следует общее условие, которому должна удовлетворять волновая функция – условие нормировки:

. (2)

Таким образом, в квантовой теории постулируется вероятностный способ описания состояния микрочастицы.

II. Постулат соответствия: каждой физической величине в квантовой механике ставится в соответствие эрмитов оператор с помощью “формулы среднего”

, (3)

где – оператор, удовлетворяющий условию эрмитовости, которое в общем случае имеет вид

. (4)

(Здесь и далее интегрирование производится по всему пространству).

Из условия (4) следует, что

, т.е. .

Последнее равенство выражает условие действительности физической величины f. Формула среднего (3) позволяет вычислять неопределённости физических величин в данном состоянии .

Неопределённость случайной величины f определяется выражением

Возведём его в квадрат и воспользуемся формулой среднего

.

Обозначим оператор и применяя условие эрмитовости (4), получим

.

Если в состоянии физическая величина f имеет определённое значение, то и ; следовательно, и, учитывая введённое ранее обозначение , получим

. (5)

Уравнение (5) называется операторным, его решения – собственные функции оператора , а величины f – собственные значения оператора . Из

Таблица 1. Операторы основных физических величин

Физическая величина	Эрмитов оператор	Собственные функции	Собственное значение
координаты x, y, z   импульс     угловой момент     полная энергия (функция Гамильтона)	оператор координаты – оператор умножения     оператор импульса   оператор углового момента в сферической системе координат     оператор Гамильтона	плоская волна де Бройля – состояние свободно движущейся частицы         зависят от вида потенциального «рельефа»	непрерывный спектр     дискретный спектр непрерывный спектр, если дискретный спектр, если

постулата соответствия следует, что наблюдаемые в эксперименте физические величины есть собственные значения соответствующих эрмитовых операторов. Постулируемые важнейшие операторы приведены в Таблице 1.

III. Постулат причинности

Cостояние микрочастицы есть решение временнóго уравнения Шрёдингера

. (6)

Уравнение Шрёдингера – дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка по времени и второго по координатам. Оно позволяет по волновой функции в начальный момент времени рассчитать волновую функцию частицы в произвольный момент времени t, т.е. функцию и таким образом устанавливает причинно-следственную связь между состоянием системы в настоящем и будущем.