Гармонически разделенные пары точек
Определение 30
Если (АВ, СD)= –1, то пара точек А, В гармоническиразделяетпару точек С, D или, еще говорят, гармонически сопряжена с парой точек С, D.
(АВ, СD)= –1 (8.6)
Свойство гармонически разделенных пар:
(АВ, СD)=(ВА, СD)=(АВ, DС)=(СD, АВ)=–1.
Полный четырехвершинник
Определение 31
Фигура, состоящая из четырех точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой (общего положения), и шести прямых, соединяющих попарно эти точки, называется полным четырёхвершинником.
Вершины – A, B, C, D.
Стороны – АВ, ВС, АD, АС, CD, BD.
Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными.
Стороны АВ и CD – противоположные, ВС и АD – противоположные, АС и ВD – противоположные.
Точки пересечения противоположных сторон
называются диагональными точками
четырёхвершинника.
Точки P,Q,R – диагональные.
Прямые PQ, PR, QR – диагонали.
Диагональные точки четырехвершинника не лежат на одной прямой.
Рассмотрим проективный .
Прямая АС имеет в репере уравнение:
или у=0.
Прямая ВD имеет уравнение х=z.
Тогда P(1:0:1),Q(0:1:1),R(1:0:1).
Теорема 8
На каждой диагонали полного четырехвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку
Например,
На диагонали полного четырехвершинника диагональные точки Q и R гармонически разделяют две точки К и М, в которых эта диагональ пересекает стороны AD и ВС, проходящие через третью диагональную точку Р.
(QR, КМ) = –1.
Следствие 1.
Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.
Две вершины А и В, лежащие на стороне полного четырехвершинника АВ, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки Q и точки N, в которой эта сторона пересекает диагональ РR, проходящую через две другие диагональные точки
(АВ, QN) = –1
Следствие 2.
Две противоположные стороны полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих
сторон.
Две противоположные стороны АВ и DC полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали QR и QP, проходящие через точку Q пересечения этих сторон.
Определение 32
Пару точек К и М произвольной прямой называют гармонически сопряжённой с парой точек Q и R той же прямой, если Q и R – диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки К и М – точки пересечения этой прямой QR с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника AD и ВС, проходящими через третью диагональную точку Р.
Построение четвертой гармонической
По трем точкам
Дано: точки P,Q,М Î l
Построить: точку Х / (PQ,MX)=–1.
Решение.
Строим полный четырехвершинник с диагональными точками P и Q.
Дано: | |
Строим прямую р Э Р (р≠l) | |
Отмечаем две вершины – точки А и В | |
Проводим прямые QA (сторона), QB (сторона), MA | |
Отмечаем точку С=QB Ç МА | |
Строим прямую РС | |
Отмечаем точку D=РС Ç АQ | |
Четырехвершинник ABCD | |
Проводим сторону BD Полный четырехвершинник ABCD | |
Отмечаем точку X=BDÇPQ |
Здесь: точки Р и Q – диагональные точки, точка М – точка пересечения диагонали PQ со стороной, проходящей через третью диагональную точку R:
Примечания.
1. Понятие, двойственное полному четырехвершиннику, – полный четырехсторонник – фигура, состоящая из четырех прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку) и шести точек их пересечения.
2. Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.
Теорема 9
Пусть даны ABCD и A1B1C1D1 – два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q – пересечениями противоположных сторон AB, CD и A1B1, C1D1; AC, BD и A1C1, B1D1. Тогда, если стороны BC и B1C1 четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то стороны AD и A1D1 пересекаются в точке T этой же прямой.
Если пара точек P и Q гармонически сопряжена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S и T гармонически сопряжена с P и Q.
Пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной разделенности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии), т.e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P1, Q1 и S1, T1.