Пространственная система сил.

Силы проектируется на 3 оси ''X'', ''У'', ''Z''.
Момент силы относительно оси равен произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на перпендикуляр, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью.
Если сила вращает тело по часовой стрелке вокруг оси (если смотреть с положительного направления оси), то момент положителен, и наоборот.
Если сила параллельна или пересекает её, то её момент = 0.

В результате при решении задач на ПРСПрС, составляется 6 уравнений равновесия.
ΣХ = 0
ΣУ = 0

ΣZ = 0
ΣМ_Х = 0
ΣМ_У = 0
ΣМ_Z = 0

Кинематика

Основные понятия.
Траектория — это линия по которой движется точка.

S, м — путь (расстояние).

S = ƒ(t).

Скорость характеризует быстроту перемещения.

U, м\с
U = СОNST – равномерное движение.

S = U * t
U СОNST – неравномерное движение.

U₀ – начальная скорость.
U — конечная скорость.

U_ср = U₀ + U

S = U_ср * t = U + U₀

Ускорение — это изменение скорости в единицу времени.

а = U – U₀

a_t – касательное ускорение, направлено по касательной к траектории. Появляется только при изменении скорости.

a_t = U – U₀

а_n — нормальное ускорение, направлено по нормали к касательной к центру кривизны.

а_n = U²

Появляется только при движении по дуге.

S = U₀t + at²

Поступательное движение тела.

Поступательным называют такое движение тела, при котором отрезок прямой, проведённый через тело, остается параллельным самому себе в любой момент времени.

AB||A₁B₁||A₂B_2...
U_A = U_B = …

a_A = a_B =

Скорости и ускорения точек одинаковы.

Вращательное движение.

Вращательным движением называют такое движение тела, при котором точки тела, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными в любой момент времени.

φ(фи) — градусы, радианы.
φ = ƒ(t)
ω(омега) — угловая скорость.

ω = const – равномерное вращение.
φ = ƒ * радианы - 1

ω, c^-1

ω const – неравномерное вращение.
φ = ω + ω₀

ε (эпсилон) — угловое ускорение.

ε = ω – ω₀φ = ω₀t + εt²

За 1 оборот φ = 2π;
за n оборотов φ = 2πп;
за 1 минуту ω = 2πп;

ω = πп

n, об / мин — частота вращения или число оборотов в минуту.

Линейные скорости и ускорения точек вращающегося тела.

S = φ x R
U = ω x R
a_t = ε x R
a_n = ω²xR

Динамика.

Аксиомы динамики:
1. F = ma;
Ускорение, полученное материальной точкой действием на неё силы, прямо пропорционально этой силе и сонаправлено с ней.

G = mg
G – все тела или сила тяжести.
g- 9,8 м/с²

2. Если к телу приложены несколько сил, то общее ускорение, полученное материальной точкой, равно сумме ускорений, полученных действием каждой силы.

F_Σ= F₁ + F₂ + F₃

ma_Σ = ma₁ + ma₂ + ma₃ +...

a_Σ = a₁ + a₂ + a₃ +... = Σ₁^N aί

R

Fин + R = 0
R = - Fин

R = ma

Fин = - ma

К реально движущемуся телу прикладываем силу инерции для уравновешивания. Сила инерции – фиктивная, так как появляется только при ускорении, противоположно ему.
Метод кинематики или принцип Даламбера:
Принцип Даламбера заключается в том, что при решении задач к движущемуся телу прикладывают силу инерции и рассматривают тело как бы находящимся в равновесии.
Составляют уравнения равновесия.

Трение.

Различают трение скольжения и трение качения. Сила трения всегда противоположна движению.
Сила трения может быть полезной и вредной. Трение бывает сухое и жидкостное (в масле).

N = G
R = N + F_TP

φ – угол трения.

Законы трения, скольжения:
1. Сила трения зависит от материала;
2. Сила трения зависит от физического состояния тела;
3. Сила трения зависит от скорости движения;
4. Сила трения зависит от силы тяжести.
“рисунок”
Если вращать ''R'' вокруг ''N'' то получается конус трения с углом при вершине 2φ.
Если равнодействующая всех сил, действующих на тело, проходит через конус трения, то тело остается в покое. Это - условия самоторможения.

Работа и мощность.

Работа равна произведению силы на перемещение (путь).
W = FxS, Дж.
Мощность — это работа в единицу времени.

P = w

1 л.с = 735 Вт.

Для вращательного движения.
M = FxD 2Mω = φxM

S = φ x R = φ x D P = ω x M

p = φ x M

КПД.

ŋ (эта) ŋ = P_n

P_П — полезная мощность;
P_З — затраченная мощность или мощность двигателя;

P_ДВ = P_З = Pп + P_ВС.

P_ВС — мощность вредных сил.
ŋ = W_n

Раздел ||. Сопротивление материалов.

Сопромат изучает деформацию тел.

Основные понятия.

Деформация — это изменение формы тела под действием внешних сил.
Деформация бывает:
упругая и пластическая.
Упругая — исчезает после снятия нагрузки.
Пластическая(остаточная) — частично остается.

Первая задача сопромата — расчёт на прочность.
Прочность — это способность материала не разрушаться под действием внешних сил.
Прочность зависит от нагрузки, материала и размеров. То есть необходимо рассчитать элементы конструкции так чтобы они обеспечивали достаточную прочность при минимальных затратах материала (экономическая выгода).

2 задача сопромата — расчёт на жёсткость.
Жёсткость — это способность сопротивляться упругим деформациям.
Пластические деформации недопустимы, так как приводят к разрушению. Жёсткость зависит от нагрузки, материала и размеров.
Упругие деформации должны быть минимальными для нормальной роботы конструкции.

3 задача сопромата — растёт на устойчивость. На устойчивость считают: опоры мостов, сваи, колонны.
Метод сечений.

Силы бывают: внешние и внутренние.
F_ВШ → F_ВН → деформации.

Для определения внутренних сил применяют метод сечения: рассекают тело плоскостью и рассматривают.

Не рассматривают тело в равновесии F_{ВШ +} F_ВН = 0 (равновесие).

Внешняя сила становится видимой.

Действие внутренних сил заменяем главными векторами и главным моментом. Раскладываем их по 3 осям х, у — поперечные оси. В общем случае нагружений в системе возникают внутренние силовые факторы.

N_{Z –} продольная сила, перпендикулярна плоскости сечения (при растяжении).

Q_Х, Q_У — поперечные силы (при изгибе);

М_К — крутящий момент (при кручении);

М_Х , М_У — изгибающие моменты (при изгибе);

Напряжение.

Для того чтобы определить как работают точки сечения вводят понятия напряжений.
Напряжение — это отношение силы и единицы площади.
Р = F Н Н 1МПа = 10⁶Па;

Ϭ (сигма) — нормальное напряжение, перпендикулярно плоскости сечения.

Շ (тау) - касательное напряжение, лежит в плоскости сечения.

Растяжение и сжатие.

Это вид деформации, при котором в поперечных сечениях появляется один силовой фактор продольная сила N_Z. На растяжение работают: болты, заклёпки, сварные стыковые швы. Для определения продольной силы N_Z, по длине детали строим график — эпюру продольных сил.
Условно все детали машин, работающие на растяжение, называют стержнями или брусами.

Правила построения эпюр:
1. Делим стержень на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и изменение размера сечения.
2. Нумеруют участки, начинают со свободного конца стержня.
3. По методу сечений определяют N_Z, на каждом участке по порядку как N_Z = ∑Fi.

4. Правило знаков: если внешняя сила растягивает стержень то N_Z ''+'', если сжимает,

''-''.
5. Проводят нулевую ось параллельно оси стержня и откладывают от неё в примерном масштабе полученное значение N_Z.

N_Z = ƒ (t) – эпюра продольных сил.
Z – длина участка.

Пример:

F₁ = 40 кН
F₂ = 100 кН
F₃ = 80 кН

d₁ = 80 мм

d₂ = 30 мм

d₃ = 25 мм

NZ= ƒ(Z)

ϬP= ƒ(Z)

1. N_Z = F₁ = 40 кН
2. N_Z = F₁ – F₂ = -60 кН
3. N_Z = F₁ – F₂ — F₃ = 40 – 100 – 80 = - 140 кН

А = πd²

A₁ = πd₁² 3,14 x 20²

А₂ = πd₂² 3,14 x 30

A₃ = πd₃² 3,14 x 25

При растяжении в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения.

Ϭp = Nz

Ϭp = ƒ(Z) – аналогично но добавляют градусы при изменение размеров.

Ϭ p₁ = Nz₁ 40 x 10³

Ϭ p₂ = Nz₁ 40 x 10³

Ϭ p₃ = Nz₂ -60 x 10³

Ϭ p₄ = Nz₂ -60 x 10³

Ϭ p₅ = Nz₃ -140 x 10³

∆ℓ = ∆ℓ₁ + ∆ℓ₂ + ∆ℓ₃

∆ℓ₁ = Ϭp₁xℓ₁ -143 x 3 x10³

∆ℓ₂ = Ϭp₂ x ℓ₂ -111 x 0,6 x10³

∆ℓ₃ = Ϭp₃ xℓ₃ 444 x 0,4 x10³

∆ℓ = -0,72 - 0,33 + 0,88 = - 0,17мм.(ускорение).

Деформация при растяжение.

Ϭp = Nz

∆ℓ = ℓ₁ - ℓ,мм — обратное ускорение;
Є(эпсилон).
Є = ∆ℓ

Ϭ p = EЄ – закон Гука при растяжение;
Е — модуль продольной области, характеристика материалов.
МПа.
Для стали Е = 2 х 10⁵ МПа.
∆ℓ = Ϭp х ℓ

∆ℓ = N_Z х ℓ

Механические испытания.

Основные механическим испытанием является испытание на растяжение так как в результате определяются основные механические характеристики материалы.

Стандартный образец(диаметр 10 мм, длина 100мм.), растягивается на разрывной машине до разрушения. В результате строится диаграмма растяжения.

Пластичные материалы.

ОА — участок пропорциональности: удлинение образца, прямопропорционально приложенной нагрузке. Деформации упругие.
тА — предел пропорциональности (Ϭпц).
АВ — участок упругости. Деформации упругие.
тВ — предел упругости (Ϭу).
ВС — участок текучести — образец «течёт», то есть удлиняется без видимого приложения усилий. Появляются пластические деформации.
Ϭт — предел текучести, является пределом прочности для пластичных материалов.
Ϭ₂ — условный предел текучести, вводится для материалов, у которых площадка текучести выражена не явно.
0,2% - пластические деформации.
CD — рост пластических деформаций.
тD - Ϭв — временное сопротивление разрушению, предел прочности для хрупких материалов.
КЧ42 — в
Ϭв = 420 МПа

Є = 6%
Ϭ в

Ϭв — предел прочности.
Ϭ - рабочее (расчётное) напряжение.

[Ϭ] - допускаемое напряжение – максимальное, которое допускается для работы деталей машин.

Ϭ ≤ [Ϭ] - условие прочности.

Перегрузка: Ϭ > [Ϭ] до 5%.
Недогрузка: Ϭ< [Ϭ] до 13% - перерасход материала.
Ϭв

Ϭ = N_Z

n ≥ [n] – условие прочности по запасу пластичности.
Ϭ пред р. > Ϭ пред.
Хрупкие
Ϭ пред. р < Ϭ пред с.

Расчёт на прочности при растяжении.

Ϭ р = N_Z

На условиях прочности считают 3 типа задач:
1. Проверочный расчёт.
Дано: F =>N_Z,размеры => А, [Ϭр]

Опр. Ϭр = N_Zи сравнивают с [Ϭр], если ≤ - прочность обеспечена.

2. Проектный.
Спроектировать - значит определить размеры.
Дано: F =>N_Z, [Ϭр]

Опр. А = N_Z

3. Расчёт на допускаемую нагрузку.
Дано: размеры =>; [Ϭр]

Опр. [F] = N_Z= Ax [ϬՇр]

Срез и смятие.

Это вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор — поперечная сила Q. На срез и смятие работают заклёпки, шпонки, сварные нахлёсточные соединения, резьбовые соединения.
1. Срез, возникают касательные напряжения.
Շср = Q

Заклёпка
А_ср = πd²

n – число заклепок.

i — число плоскостей срез

Шпонка.
А_ср = в х ℓ

2. Смятие.
Возникают нормальные напряжения.
Ϭсм = Q

Заклёпка.
Асм = (δ₁ + δ₂) х dxn
Асм = hx ℓ

Геометрические характеристики
плоских сечений.

1. Площадь сечения.
А, мм².
2. Полярный момент сопротивления.
W_p = ∫_ApxdA, мм³.
Крус Wp = πd³

3.Осевые моменты сопротивления Wx, Wy.
Круг Wx = Wy = πd³

прямоугольник

Wx = в h²Wy = h в²

I – Wx, Wy – для прокатных профилей в ГОСТах.

4. Полярный момент инерции.
Iр, мм⁴
круг Iр = πd⁴

5. Осевые моменты инерции.
Iх, Iу.
круг Iх = Iу = πd⁴

Кручение.

Это вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент (Мк).
На кручение работают валы, цилиндрические, винтовые пружины.
Строят эпюру:
Мк = ƒ(Z).
Правила:
1. делят вал на участки, границы которых проходят через сечения, где приложены внешние моменты.
2. если вал двухопорный, то нумерацию участков начинают с любой стороны.
Если вал с жёсткой заделкой, то нумерацию участков начинают со свободного конца вала.
3. определяют на каждом участке по порядку Мк = Σ₁^N Мi, применяя метод сечений.

4. правило знаков Мк «+», если внешний момент вращается по часовой стрелке, «-» если против часовой, если смотреть с стороны сечения.

М₁ = 80Нм

М₂ = 200Нм
М₃ = 100Нм

М_К = ƒ(Z)?

М₀ = М₁ + М₂ + М₃ = 80 + 200 + 100 = 380Нм
Мк₁ = - М₁ = - 80Нм
Мк₂ = - М₁ + М₀ = - 80 + 380 = 300Нм
Мк₃ = - М₁ + М₀ — М₃ = - 80 + 380 — 100 = 200Нм
Дано: P, w.
М = Р х 10³

Деформации при кручении, напряжения.

Возникают касательные напряжения, они максимальны на поверхности и минимальны в центре.
Շк = Gxϒ - з. Гука.
G — модуль сдвига, характеристика жёсткости материала.
G = 0,4E
G = 8 x 10⁴МПа

Շ к = Мк

φ — угол закручивания, характеристика жёсткости сечения.
φ = Мк х ℓ

Изгиб.

Это вид деформации, при котором поперечном сечение возникают 2 внутренних силовых факторов — поперечная сила Q изгибающий момент Ми.
На изгиб работают:
валы, зубья шестерни и.т.д. Условно устройства, работающие на изгиб, называют балками.
Виды изгиба:
1. Простой: все внешние силы находятся в одной плоскости проходящей через центральную ось балки.
2. Косой: силы расположены в разных плоскостях.
3. Чистый: когда поперечная сила Q = 0.
Строят эпюры:
1.1. Если балка двухопорная, то сначала определяют реакции опор.
1.2. Если балка с жёсткой заделкой, то реакции опор можно не определять.
1.3. Делят балку на участки, границами которой являются точки приложения внешних сил.
1.4. Нумерацию участков начинают для двухопорной балки с любой стороны, для балки с жёсткой заделкой со свободного конца.
1.5. Определяют на каждом участке по порядку Q = ΣFi.
1.6. Правило знаков: если внешние силы вращают балку по часовой стрелке вокруг сечения то Q (+), если против то Q (-).
1.7. Если к балке приложена распределённая нагрузка ”q”, то этот участок считают в начале и в конце. В результате на эпюре будет прямая наклонная линия.

Q_A = 0
Q_B = - qℓ
2. Мu = ƒ(Z).
2.1. Эпюру строят не по участкам, а по точкам, где приложены внешние силы и моменты.
2.2. Определяют Мu в каждой точке как Мu = Σ₁^NМ_К(Fi).
2.3. Если к балке приложен внешний момент, то это сечение считается дважды: до момента и после. В результате на эпюре будет скачок, численно равный внешнему моменту.
2.4. Правило знаков, знак у Мu определяют по правилу «чаши»: вода вливается Мu ''+'', выливается, Мu ''-''.
2.5. Если к балке приложена распределення нагрузка ''q'', то эпюра Мu имеет форму параболы, выпуклостью направленной навстречу распределённой нагрузке.
Мu_A = 0
Mu_B = - qℓ x ℓ ℓ²

Пример:

F = 40кН
М = 10кНм

Q = ƒ(Z)
Мu = ƒ(Z)

1. Q = ƒ(Z)
Q₁ = F = 40кН
2. Мu = ƒ(Z)
Мu_A = 0
Mu_B1 = - Fx 3 =
= - 40 x 3 = - 120кНм
Mu_B2 = - Fx 3 + M =
= - 40 x 3 + 10 = - 110Нм
Мu_C = - Fx 6 + M =
= - 40 x 6 + 10 = - 230кНм

Напряжения при изгибе.

При изгибе одни слои материала растягиваются, другие сжимаются. В поперечных сечениях возникают нормальные напряжения.

Ϭ _u = Mu max

Mu max – макс. На эпюре.
Wx – осевой момент сопротивления.
Круг Wx = 0,1d³ мм³

Расчёт на жёсткость.

ƒ — прогиб (мм).
ą, град. - угол поворота сечения.
ƒ, ą — характеризует жёсткость.
Для подъёмных кранов допускаемый прогиб: [ƒ] = ℓ
ƒ < [ƒ] – угловая жёсткость.

Рациональные формы поперечных сечений.

Ϭ u = Mumax

Для движения прочности напряжения должно быть меньше, поэтому Wx должен быть максимальным.
Wx = вh²hв2

Хрупкие материалы (чугун, бронза). Лучше работают на сжатие. Поэтому балки из хрупких материалов нужно делать не симметрично относительно оси и массивную часть располагать в зоне растяжения.

Задача на изгиб.