Пространственная система сил

Для равновесия пространственной произвольной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций на пространственные декартовы оси координат и суммы моментов всех сил системы относительно этих осей равнялись нулю:

, , ,

Если сила и данная ось не находятся в одной плоскости, то проецировать силу на эту ось следует согласно схеме, изображенной на рис. 12, а именно:

, , ,

,

Z

, .

Рисунок 12 – Проекции силы на оси

Моментом силы относительно данной оси называется алгебраический момент проекции силы на плоскость перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и этой плоскости (рис. 13), т.е.:

Рисунок 13 – Момент силы относительно оси

Момент считается положительным, если при наблюдении с положительного направления оси проекция силы стремится вращать тело вокруг оси против часовой стрелки. В противном случае момент силы относительно данной оси считается отрицательным.

Для упрощения записи момента силы относительно оси бывает удобно разложить ее на составляющие , , по координатным осям, тогда в соответствии с теоремой Вариньона моменты силы относительно этих осей будут равны:

,

,

.

Моменты силы относительно координатных осей можно также записывать по аналитическим формулам:

где x, y, z – координаты точки приложения силы;

, , – проекции силы на оси координат.

Пример 1. Однородная прямоугольная рама ABCD находится в равновесии. Вес рамы G=1 кН; Р=2 кН, || ; AD=BC=60 см; AB=CD=100 см; (рис. 14).

Найти реакции опор А и В (А – шаровой шарнир, В – петля (цилиндрический шарнир)), а также реакцию невесомого жесткого стержня СЕ.

Решение: Рассмотрим в равновесии раму ABCD. На раму действуют сила тяжести , сила , реакция стержня СЕ и составляющие реакций опор А и В: (рис. 15).

Составим шесть уравнений равновесия:

; (1)

; (2)

; (3)

(4)

(5)

(6)

Из уравнении (1) – (6) находим:

кН;

кН;

кН;

кН.

Рисунок 14 – К примеру 1 Рисунок 15 – К примеру 1

Пример 2. Твердое тело в виде двух однородных прямоугольных тонких плит, жестко соединенных между собой под прямым углом, находится в равновесии (рис. 16). Вес большей плиты Р₁=5 кН, вес меньшей плиты Р₂=3 кН. На тело действуют пара сил с моментом , лежащая в плоскости меньшей плиты, и силы F₁=6 кН и F₂=8 кН ( ).

Определить реакции опор А и В (А – шаровой шарнир, В – цилиндрический шарнир), а также реакцию невесомого жесткого стержня 1. При вычислениях принять а=0,6 м.

Решение: Рассмотрим в равновесии твердое тело, состоящее из двух однородных прямоугольных плит. На тело действуют силы тяжести и , силы и , пара сил с векторным моментом

( плоскости действия пары сил, т.е. || ), реакция стержня 1 и составляющие реакций опор А и В: (рис. 17).

Рисунок 16– К примеру 2

Рисунок 17 – К примеру 2

Для определения шести неизвестных реакций N, X_A, Y_A, Z_A, Y_B, Z_B составляем шесть уравнений равновесия действующей на тело пространственной произвольной системы сил:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Для записи моментов сил и относительно осей координат раскладываем их на составляющие , , , (эти составляющие входят в уравнения) и применяем теорему Вариньона.

Далее решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции:

Из уравнения (7) получаем:

кН;

Из уравнения (10):

кН;

Из уравнения (11):

Из уравнения (9):

кН;

Из уравнения (12):

кН;

Из уравнения (8) :

кН.