Пространственная система сил

7.1. Статические инварианты. Динамический винт

Ранее было установлено, что главный вектор системы сил, как угодно расположенных в пространстве,

Пространственная система сил - student2.ru (7.1) не изменяется при перемене центра приведения. Главный же момент при этом не изменяется и для нового центра приведения определяется формулой

Пространственная система сил - student2.ru , (7.2) где Пространственная система сил - student2.ru и Пространственная система сил - student2.ru – главные моменты относительно центров приведения О и Пространственная система сил - student2.ru . Второе слагаемое в правой части формулы (7.2) представляет собой момент главного вектора, приложенного в центре приведения О, относительно нового центра приведения Пространственная система сил - student2.ru .

Умножим скалярно обе части равенства (7.2) на вектор Пространственная система сил - student2.ru :

Пространственная система сил - student2.ru .

Так как вектор Пространственная система сил - student2.ru перпендикулярен вектору Пространственная система сил - student2.ru , то их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

Пространственная система сил - student2.ru , (7.3) т.е. скалярное произведение главного вектора Пространственная система сил - student2.ru на главный момент не зависит от центра приведения.

Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются главный вектор и скалярное произведение главного вектора на главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны относительно выбора центра приведения.

Первым статическим инвариантом называется главный вектор Пространственная система сил - student2.ru . В более узком смысле этого слова под первым инвариантом понимают квадрат модуля главного вектора

Пространственная система сил - student2.ru . (7.4)

Вторым статическим инвариантом называется скалярное произведение главного вектора на главный момент:

Пространственная система сил - student2.ru . (7.5)

Из второго инварианта вытекает простое геометрическое следствие. Действительно, запишем равенство (7.3) в следующем виде:

Пространственная система сил - student2.ru .

Если Пространственная система сил - student2.ru , то

Пространственная система сил - student2.ru .

Каждое из этих произведений представляет собой проекцию главного момента на направление главного вектора. Следовательно, при перемене центра приведения проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется. Заметим, что при Пространственная система сил - student2.ru это следствие можно принять за определение второго инварианта.

Так как проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется при перемене центра приведения, то можно утверждать, что для центра приведения, в котором главный вектор и главный момент направлены по одной прямой, модуль главного момента будет минимальным. В этом случае модуль главного момента равен его проекции на направление главного вектора.

Очевидно, что проекция Пространственная система сил - student2.ru главного момента на направление главного вектора определяется равенством

Пространственная система сил - student2.ru ,

или, принимая во внимание значения первого и второго инвариантов,

Пространственная система сил - student2.ru . (7.6)

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Так как плоскость действия пары перпендикулярна моменту пары, то динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают правый и левый динамические винты. На рис. показан правый динамический винт, составленный из силы Пространственная система сил - student2.ru , равной главному вектору системы, и пары сил с моментом Пространственная система сил - student2.ru , равным главному моменту; на рис. показан левый винт, составленный из тех же элементов.

Может возникнуть вопрос, в каких случаях данную систему сил можно привести к динаме? На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему сил можно привести к динаме. На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему можно привести к динаме.

Пусть в произвольной точке О система приведена к силе, равной главному вектору Пространственная система сил - student2.ru , и паре сил с моментом, равным главному моменту Пространственная система сил - student2.ru . Так как по условию теоремы Пространственная система сил - student2.ru , то оба вектора, Пространственная система сил - student2.ru и Пространственная система сил - student2.ru , не Пространственная система сил - student2.ru равны нулю и они не перпендикулярны между собой. Разложим главный момент на две составляющие: одну Пространственная система сил - student2.ru направим по главному вектору и другую Пространственная система сил - student2.ru направим перпендикулярно главному вектору. Составляющая Пространственная система сил - student2.ru представляет собой момент пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору Пространственная система сил - student2.ru . Выберем силы Пространственная система сил - student2.ru и Пространственная система сил - student2.ru , составляющие эту Пространственная система сил - student2.ru пару, равными по модулю главному вектору Пространственная система сил - student2.ru и приложим силу Пространственная система сил - student2.ru к центру приведения. Система сил ( Пространственная система сил - student2.ru , Пространственная система сил - student2.ru ), как эквивалентная нулю, может быть отброшена. Так как момент Пространственная система сил - student2.ru – вектор свободный, то его можно перенести из точки О в точку Пространственная система сил - student2.ru . Таким образом, заданная система сил приведена в точке Пространственная система сил - student2.ru к силе Пространственная система сил - student2.ru и паре сил с моментом Пространственная система сил - student2.ru , расположенной в плоскости, перпендикулярной силе, т.е. мы получили динамический винт.

Пространственная система сил - student2.ru Из формулы (7.6) видно, что положительному второму инварианту Пространственная система сил - student2.ru отвечает правый динамический винт, а отрицательному второму инварианту Пространственная система сил - student2.ru – левый динамический винт.

Точка Пространственная система сил - student2.ru не единственная, где система сил приводится к динаме. В самом деле, силу можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный, следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходящей через точку Пространственная система сил - student2.ru и являющейся линией действия силы Пространственная система сил - student2.ru . Эта прямая называется центральной осью системы сил. Найдем теперь уравнение центральной оси.

Пусть Пространственная система сил - student2.ru – точка центральной оси. Тогда для этой точки главный вектор и главный момент должны быть коллинеарны друг другу. На основании формулы (7.2) главный момент для точки Пространственная система сил - student2.ru можно записать в виде

Пространственная система сил - student2.ru .

Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки Пространственная система сил - student2.ru записывается следующим образом:

Пространственная система сил - student2.ru ,

где Пространственная система сил - student2.ru – параметр винта, имеющий размерность длины.

Таким образом,

Пространственная система сил - student2.ru . (7.7)

Пусть Пространственная система сил - student2.ru и Пространственная система сил - student2.ru – соответственно проекции главного вектора и главного момента на оси х, у и z; тогда

Пространственная система сил - student2.ru

Пусть координаты какой-либо точки Пространственная система сил - student2.ru центральной оси будут х, у, z, следовательно,

Пространственная система сил - student2.ru

Подставляя соответствующие выражения в соотношение (7.7), получим

Пространственная система сил - student2.ru

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах Пространственная система сил - student2.ru , Пространственная система сил - student2.ru и Пространственная система сил - student2.ru , имеем

Пространственная система сил - student2.ru ,

Пространственная система сил - student2.ru ,

Пространственная система сил - student2.ru .

Следовательно,

Пространственная система сил - student2.ru (7.8) Это и есть искомые уравнения центральной оси.

Наши рекомендации