Определение момента инерции твёрдого тела

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Определение момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности:Установка лабораторная „Унифилярный подвес“. Электронный блок ФМ 1/1. Набор грузов. Штангенциркуль. Линейка.

Краткая теория

Моментом инерции твердого тела называется физическая величина, характеризующая распределение масс в теле относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Твёрдое тело можно представить как совокупность большого числа материальных точек. В таком случае момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех образующих его материальных точек относительно этой оси и определяется по формуле

где r- расстояние от данной материальной точки массой до оси вращения, - плотность вещества твердого тела, – объём тела.

Момент инерции тела зависит от его массы, формы, размеров и положения оси вращения.

Найдём момент инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии Z(рис. 1).

Совместим начало координат с центром масс параллелепипеда, а координатные оси направим параллельно его граням , , .

Для определения момента инерции параллелепипеда относительно оси разобьём его на параллельные слои толщиной , высотой и длиной . Каждый слой разобьём на элементарные объёмы в виде столбиков высотой и площадью основания (рис.1).

Масса каждого элементарного объёма , где – плотность металла, из которого сделан параллелепипед.

Вклад каждого элементарного объёма в общий момент инерции параллелепипеда равен

,(1)

где – расстояние столбика до оси вращения ( ).

Момент инерции каждого слоя можно найти, проинтегрировав выражение (1) по в пределах от до :

. (2)

Для определения момента инерции всего параллелепипеда нужно выражение (2) проинтегрировать по в пределах от до :

.

Откуда следует окончательное выражение:

. (3)

Полученная формула позволяет вычислить значение момента инерции однородного параллелепипеда относительно оси симметрии .

Однако моменты инерции твёрдых тел относительно заданной оси вращения можно определить и экспериментально.

Для определения момента инерции тела экспериментальным путём в данной лабораторной работе служит установка «Унифилярный подвес» (рис. 2).

Установка состоит из основания 1, вертикальной стойки 2, верхнего 3, нижнего 4 и среднего 5 кронштейнов.

Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения стальной проволоки 8, с ней связана металлическая рамка 9, в которой закрепляется исследуемое тело 6.

Если рамку отклонить от положения равновесия и отпустить, она будет совершать колебания. Колебания такого рода называют крутильными. Они происходят под действием упругих сил, возникающих в стальной проволоке 8.

Известно, что период крутильных колебаний относительно оси зависит от момента инерции колеблющейся системы относительно этой оси:

, (4)

где – постоянная момента упругих сил.

Если исследуемое твёрдое тело 6 жёстко закрепить в рамке 9, то для периода колебаний такой системы можно записать:

, (5)

где - момент инерции рамки, а - момент инерции исследуемого тела.

Период колебаний рамки без тела определяется соотношением

. (6)

Решая систему уравнений (5) и (6), получим для выражение

. (7)

Из формулы (7) следует, что если известен момент инерции рамки, то для нахождения момента инерции исследуемого тела достаточно экспериментально определить периоды колебаний унифилярного подвеса с телом и без него.

Момент инерции рамки также можно определить опытным путём. Для этого на ней нужно укрепить грузы 7 (рис 2). В качестве грузов используются два цилиндра. Период крутильных колебаний рамки с цилиндрами:

; (8)

где - момент инерции цилиндра.

Момент инерции цилиндра можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера:

, (9)

где – масса цилиндра, – радиус цилиндра, – расстояние от оси цилиндра до оси вращения.

Из формул (6), (8) и (9) для момента инерции рамки следует выражение, в которое входят экспериментально измеряемые величины:

. (10)

Порядок выполнения работы

Ознакомиться с лабораторной установкой «Унифилярный подвес»».

Замечание. В лабораторной установке используется электронный блок ФМ 1/1, представляющий собой электронный секундомер, совмещенный со счетчиком колебаний. Запуск секундомера осуществляется кнопкой «Пуск», остановка - кнопкой «Стоп». Левый дисплей показывает число колебаний. Результаты измерения времени высвечиваются на правом дисплее. Обнуление показаний обоих дисплеев происходит при нажатии кнопки «Сброс».

Снять цилиндры с рамки.

1. Рамку без цилиндров отклонить на угол и, нажав кнопку «Сброс» электронного блока, зафиксировать ее.

2. Нажать кнопку «Пуск» и измерить время десяти полных колебаний рамки. Показание таймера занести в табл. 1. Этот опыт проделать три раза.

3. Рассчитать период колебаний рамки по формуле . Результаты занести в табл. 1.

4. Штангенциркулем измерить диаметр одного из цилиндров 7. Записать в табл. 1 значение радиуса цилиндра , расстояние от оси вращения рамки до оси одного из цилиндров и его массу (её значение указано на торце цилиндра).

5. Поместить на рамку цилиндры и, повторив операции, описанные в пункте «2», измерить время десяти полных колебаний. Рассчитать период колебаний рамки с цилиндрами по формуле . Результаты занести в табл. 1.

6. По формуле (10) рассчитать момент инерции рамки и записать его в табл. 2.

Замечание: для упрощения дальнейших расчетов рекомендуется вычислить и записать множитель отдельно.

7. Рассчитать абсолютную погрешность по методике обработки воспроизводимых косвенных измерений. При расчете множитель (см. «Замечание») считать константой. Полученный результат занести в табл. 2.

8. Снять цилиндры. Установить исследуемое тело (параллелепипед) в рамку. Определить время десяти полных колебаний, повторив операции пунктов «2»-«3». Вычислить период колебаний рамки с исследуемым телом . Результаты занести в табл. 2.

9. По формуле (7) вычислить экспериментальное значение момента инерции исследуемого тела.

10. Рассчитать абсолютную и относительную погрешности по методике обработки косвенных воспроизводимых измерений. Записать конечный результат и занести в табл. 2.

11. При помощи штангенциркуля определить размеры , , параллелепипеда и по формуле (3) вычислить теоретическое значение момента инерции параллелепипеда (плотность металла = 7900 ). Результаты измерений и вычислений записать в табл. 3.

12. Сравнить экспериментальное и теоретическое значения момента инерции исследуемого параллелепипеда. Сделать выводы.

Таблица 1

Ед.изм.

с

c

c

с

c

c

c

c

c

c

кг

м

м

Таблица 2

Ед. изм.	с	с	c	с	с					%

Таблица 3

Контрольные вопросы

1. Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения.

2. Теорема Штейнера.

3. Вывод формулы для расчёта момента инерции прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии.

4. Вывод формулы для расчета момента инерции рамки по методу крутильных колебаний.

5. Вывод формулы для расчета экспериментального значения момента инерции прямоугольного параллелепипеда методом крутильных колебаний.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 21-5