Количественные характеристики надежности.

2.1 критерии надежности невосстанавливаемых систем.

Задача 2.1.

На испытание поставлено N₀=1600 образцов неремонтируемой аппаратуры. Число отказов n(∆t) фиксировалось через каждые 100 часов работы (∆t=100 ч). Данные об отказах приведены в таблице 1.1. Требуется определить следующие критерии надежности:

- вероятность безотказной работы Р^*(t)

- вероятность отказа Q^*(t)

- интенсивность отказов λ^*(t)

- частоту отказов f^*(t)

- среднее время безотказной работы Т^*_ср

Построить зависимости P^*(t), Q^*(t), λ^*(t), f^*(t) от времени.

Решение.

Табл.1.1

∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)
0-100		500-600		1000-1100		1500-1600
100-200		600-700		1100-1200		1600-1700
200-300		700-800		1200-1300		1700-1800
300-400		800-900		1300-1400		1800-1900
400-500		900-1000		1400-1500		1900-2000

Статистически P(t) оценивается выражением:

где n(t) – число изделий отказавших за время t

N₀ – количество изделий в начале испытаний.

Занесем результаты в таблицу 1.2

Табл. 1.2

∆ti	Р*(t)	∆ti	Р*(t)	∆ti	Р*(t)	∆ti	Р*(t)
	0,95813		0,78938		0,66813		0,55625
	0,91938		0,76313		0,64563		0,535
	0,88375		0,73875		0,6225		0,5125
	0,85		0,715		0,60063		0,49063
	0,81875		0,69125		0,57813		0,4675

Вероятность отказа Q^*(t)

Отказ и безотказная работа являются событиями противоположными и несовместимыми, поэтому Q^*(t) = 1 – P(t)

Занесем результаты в таблицу 1.3

Табл. 1.3

∆ti	Q*(t)	∆ti	Q*(t)	∆ti	Q*(t)	∆ti	Q*(t)
	0,04188		0,21063		0,33188		0,44375
	0,08062		0,23688		0,35438		0,465
	0,11625		0,26125		0,3775		0,4875
	0,15		0,285		0,39938		0,50938
	0,18125		0,30875		0,42188		0,5325

Частота отказов f*(t)

где n(∆t) – число отказавших изделий в интервале времени от t – ∆t/2 до t + ∆t/2

Занесем результаты в таблицу 1.4

Табл. 1.4

∆ti	f*(t) * 10-3	∆ti	f*(t) * 10-3	∆ti	f*(t) * 10-3	∆ti	f*(t) * 10-3
	0,41875		0,29375		0,23125		0,21875
	0,3875		0,2625		0,225		0,2125
	0,35625		0,24375		0,23125		0,225
	0,3375		0,2375		0,21875		0,21875
	0,3125		0,2375		0,225		0,23125

Интенсивность отказов λ(t)

где N_срi – среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t_i

N_срi = N(t_i-1) +N(t_i)

где N(t_i-1) – число изделий, исправно работающих в момент времени t_i – 1

N(t_i) – число изделий, исправно работающих в конце интервала t_i

Занесем результаты в таблицу 1.5

Табл. 1.4

∆ti	λ*(t)* 10-3	∆ti	λ*(t)* 10-3	∆ti	λ*(t)* 10-3	∆ti	λ*(t)* 10-3
	5,238		5,635		5,263		5,942
	6,606		5,227		5,298		5,996
	6,323		4,962		5,636		6,599
	6,112		5,063		5,525		6,686
	5,77		5,231		5,892		7,385

Построим зависимости P^*(t), Q^*(t), λ^*(t), f^*(t) от времени.

Среднее время безотказной работы

= 430 часов

Задача 2.2.

При эксплуатации системы автоматики было зафиксировано n= 49 отказов в течении t= 624 часов. При этом распределение отказов по элементам и время затраченное на их устранение (время восстановления), приведены в таблице 1.5

Таб. 1.5

Элементы системы	Количество отказов – ni	Время восстановления tв мин	Суммарное время восстановления ti
Полупроводниковые элементы			–
Реле			–
Резисторы		–
Конденсаторы		–
Провода		–
Пайка		–

Требуется определить:

· среднее время восстановления t*_в ;

· среднюю наработку на отказ Т₀;

· коэффициент готовности (к_г), использования (к_и), простоя (к_п)

Решение.

Определяем среднее время восстановления системы t_вj для групп элементов :

t_в.п.э = (52+42+43+40+41+39)/6 = 42,8 мин

t_в.р = (32+44+30)/3 =35,3 мин

t_в.рез = 127/7 = 18,14 мин

t_в.к = 181/9 = 20,1 мин

t_в.пр = 90/5 =18 мин

t_в.пай = 150 /22 = 6,82 мин

Определяем среднее время восстановления ситемы:

Определим среднюю наработку на отказ

Определяем коэффициент готовности (к_г), использования (к_и), простоя (к_п)

К_п = 1 – К_и =0,033

Задача 2.3.

Время работы до отказа подчинено усеченному нормальному закону с параметрами Т₁ = 7600, σ = 2250

Вычислить среднее время работы до первого отказа – Т_ср, построить графики p(t), f(t), λ(t).

Решение.

P(t) =

где

Определим частоту отказов:

Рассчитаем интенсивность отказов λ(t).

Вычислим среднюю наработку отказа

= 277297,8

Построим графики Р(t), f(t), λ(t).

Задача 2.4.

В результате анализа данных об отказах изделий установлено, что один из критериев надежности определяется выражениями:

λ = 0,1*10^-6 1/час

k = 1,2*10^-6 1/час

λ₁ = 0,15*10^-6 1/час

λ₂ = 0,9*10^-6 1/час

λ(t) =λ² t e^-λt

Требуется найти остальные количественные характеристики надежности – p(t), f(t), λ(t), f_ср(t), T_ср. Построить графики p(t), f(t), λ(t), f_ср(t).

Решение.

Определим вероятность безотказной работы:

p(t) =

t	p(t)
	0.768
	0.552
	0.449
	0.403
	0.383
	0.374
	0.371
	0.369
	0.368
	0.368

Определим частоту отказов

f(t) = -p^' (t) или f(t) = λ(t)* p(t)

t	f(t)*10-3
	28.2
	14.9
	6.7
	2.9
	1.29
	0.55
	0.23
	0.02

Определим λ(t) =λ² t e^-λt

t	λ(t)*10-3
	30.3
	36.7
	14.9
	7.3
	3.3
	1.4

Определим зависимость параметра потока отказов f_ср(t) от времени. Необходимо найти

t	fср(t)*108
	0,31
	0,76
	0,86
	0,8742
	0,8746
	0,8749
	0,8749

Найдем среднюю наработку до первого отказа Т_ср:

=26,1*10⁵