Положения центров тяжести простых геометрических фигур.

1) для круга; 2) для прямоугольника;

3) Центр тяжести любого треугольника лежит на пересечении медиан.

Частные случаи: для треугольника

- прямоугольного - равнобедренного

4) для полукруга; 5) для четверти круга;

(где r –радиус круга).

Пример 1:Определить положение центра тяжести фигуры, имеющей ось симметрии (размеры определены на схеме).

Решение:

Фигура имеет ось симметрии, на которой находится центр тяжести. Совместим с осью симметрии ось y, а ось x – с нижним основанием фигуры.

Используем метод отрицательных площадей.

1. Разобьем фигуру произвольным образом на простые фигуры.

Наиболее рациональным из всех возможных способов деления фигуры на составные части является тот способ, при котором образуется наименьшее их число.

Дополнив фигуру до прямоугольника ABDE , разобьем ее на три части и определим площадь каждой (в см²):

1 – прямоугольник (большой ), (см²);

2 – прямоугольник (маленький), (см²);

3 – треугольник, (см²).

2. Определяем координаты центров тяжести составных частей:

Точка С₁ – ЦТ первой фигуры имеет координаты: .

Точка С₂ – ЦТ второй фигуры имеет координаты: .

Точка С₃ – ЦТ третьей фигуры имеет координаты:

.

4. Координаты точки С - центра тяжести всей фигуры:

(см).

Ответ: С (0;9,81).

Пример 2:Определить положение центра тяжести фигуры, имеющей ось симметрии (размеры определены на схеме).

Решение:

1. Разобьем фигуру произвольным образом на простые фигуры (в данном случае на два прямоугольника) определим площадь каждой (в см²):

1 – прямоугольник, (см²);

2 – прямоугольник, (см²);

2. Определяем координаты центров тяжести составных частей:

Точка С₁ – ЦТ первой фигуры имеет координаты: .

Точка С₂ – ЦТ второй фигуры имеет координаты: .

4. Координаты точки С - центра тяжести всей фигуры:

(см)

(см).

Ответ: С (2,68;3,41).

Литература

1. Яблонский А.А., Никифоровна В.М. Курс теоретической механики. Ч.1. Статика. Кинематика. Учебник для техн. вузов.- 6 изд. испр. - М.: Высшая школа, 2004. - 768 с.

2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Ч.2. Динамика. Учебник для техн. вузов. - 6 изд. искр. -М.: Высшая школа, 2004. - 343 с.

3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики в 2 томах. – СПб: Лань, 2008, с. 736.

Задание 3. Определение кинематических параметров твердого тела

Цель – оценить знания и практические навыки обучаемых по теме «Кинематика» в объеме требуемой программы.

Задание:

Кривошип ОА, вращаясь вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω, приводит в движение шатун АВ и ползун В. При заданном положении кривошипно-шатунного механизма определить скорость и ускорение шарнира А, угловую скорость звена АВ, скорость и ускорение ползуна В.

Рис. 3

Таблица 3

№	Первая цифра варианта	Вторая цифра варианта	Третья цифра варианта
Рисунок	Размеры, см	Угловая скорость ω, 1/с	Углы, град.
ОА	АВ	α	β
				1,8
				2,6
				1,4
				3,0
				2,4
				3,2
				2,2
				1,6
				2,0
				2,8

Методические рекомендации по выполнению задания

Кривошип ОА, вращаясь вокруг оси О с постоянной угловой скоростью ω приводит в движение шатун АВ и ползун В (ОА=24см, АВ=40см, ω=2.0см/с, = 0, = 45^о, = 24 ^о).

При заданном положении кривошипно-шатунного механизма определить:

1. Скорость и ускорение точки А;

2. Угловую скорость звена АВ;

3. Скорость и ускорение ползуна В.

Решение:

1. Анализируем движение механизма

1.1.Кривошип ОА совершает вращательное движение относительно точки О с заданной угловой скоростью .

1.2. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение.

1.3. Ползун В – возвратно-поступательное вдоль прямой.

2. Определим скорости

2.1.Определим

Точка А принадлежит кривошипу ОА, совершая вращательное движение с постоянной угловой скоростью.

.

2.2. Определим и .

Применим второй метод исследования плоского движения – метод МЦС. Положение МЦС определим как точку пересечения перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей точек А и В через эти точки.

Скорость точки «А» в мгновенном вращении относительно точки «Р»:

2.3. Определим АР :

Рассмотрим

2.4.Найдем и .

определим в том же вращении относительно МЦС .

3. Определение ускорений.

3.1. Найдем ускорение точки «А».

3.2. Определим ускорение точки «В»: применим второй метод исследования плоскопараллельного движения:

.

Так как мы не знаем вращательного ускорения точки «В», найдем ускорение этой точки графическим путем.

Ответ:

Литература

1. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. СПб.: Лань, 2004 – 768 с.

2. Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики в 2 томах. – СПб: Лань, 2008, с. 736.

Задание 4. Центральное растяжение-сжатие

Цель – оценить знания и практические навыки обучаемых по теме «Основные понятия и определения сопротивления материалов» в объеме требуемой программы.

Задание: построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютную деформацию по заданным условиям (рис. 4, табл. 4).

№ 1	№ 6
№ 2	№ 7
№ 3	№ 8
№ 4	№ 9
№ 5	№ 10

Рис. 4

Таблица 4

Номер схемы	Внешние нагрузки, кН	Линейные нагрузки, мм	Площади поперечных сечений, мм2 ; материал
			l1	l2	l3	l4
								25, дюраль	10, дюраль
								35, сталь	20, сталь
								80, сталь	40, сталь
			-				-	10, сталь	15, сталь
								20, дюраль	10, дюраль
			-					50, бронза	25, бронза
								40, дюраль	25, дюраль
								5, дюраль	10, дюраль
								12, сталь	24, сталь
								15, бронза	30, бронза

Методические рекомендации по выполнению задания

Построение эпюр продольных сил

Необходимо определить, с помощью какого метода можно исследовать эти внутренние силовые факторы. Например, метод сечений.

Пусть стержень нагружен произвольной системой внешних сил (рис. 1). Под действием данной системы внешних сил стержень находится в равновесии. Внутренние силы, возникающие в стержне, можно выявить, только если рассечь его мысленно на две части.

Проводим произвольное поперечное сечение klmn. Внешние силы стремятся оторвать часть стержня слева. Внутренние силы препятствуют этому.

Отбросим правую часть стержня (рис. 2). На точки сечения оставленной левой части будут действовать внутренние силы. Для сохранения равновесия рассматриваемой левой части необходимо заменить воздействие отброшенной (правой) части на оставленную левую часть системой внутренних сил в сечении.

Заменим всю совокупность внутренних сил в сечении главным вектором и главным моментом путем приведения их к центру тяжести сечения согласно основной теореме статики. Для определения и нужно составить условия равновесия, поэтому в проекциях на оси координат получим шесть условий равновесия. Для этого разложим и на составляющие:

;

+ = 0 + = 0

+ = 0 + = 0 (1)

+ N = 0 + = 0

Составляющие , , , , называются внутренними силовыми факторами.

Здесь , , – суммы проекций всех внешних сил;

, , – суммы проекций внешних моментов;

N – продольная сила;

, - поперечные силы;

- крутящий момент;

, - изгибающие моменты.

Деформированные состояния, при которых возникают данные силовые факторы:

1) растяжение-сжатие (продольные силы );

2) сдвиг (поперечные силы , );

3) кручение (крутящий момент );

4) изгиб (изгибающие моменты , );

5) сложные деформации (несколько усилий, например, изгибающий и крутящий моменты).

Правило знаков для продольной силы: растягивающие продольные силы (направленные от сечения) считаются положительными, сжимающие (направленные к сечению) – отрицательными.

Эпюрой продольной силы называется график, показывающий изменение продольной силы по оси стержня.

Пример 1

Построить эпюру продольных сил для бруса, если:

=F; =2F, =4F.

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются сечения, в которые приложены внешние силы. Применяя метод сечений, оставляем правую часть (левую отбрасываем) – это позволяет не определять реакцию заделки.

Проводя произвольно сечение а-а на участке I, составляем уравнение равновесия:

= 0 F - = 0

= F (растяжение)

Проводим сечение в-в на участке II:

= - - = F- 2F- = 0

= - F (сжатие)

Проводим сечение с-с на участке III:

= - + - = 0

= F-2F + 4F- = 0

= 3F (растяжение)

Строим эпюру.

Для построения эпюры N проводим ось абсцисс параллельно оси бруса.

Положительные значения откладываем вверх, отрицательные – вниз (рис. 4.1). Эпюра строится в выбранном м а с ш т а б е ! Эпюру следует штриховать! Штриховка строго перпендикулярна оси эпюры !!!

Рис. 4.1

Абсолютная и относительная продольная деформация.

Напряжение – это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади: = .

Единицы измерения напряжения:

1 Па = 1 Н/ м²; 1 МПа = 10 ⁶ Па =1 Н/мм².

Допускаемые напряжения ([s] и [t] – нормальные и касательные) – это такие максимальные напряжения, при которых не происходит разрушение данной конкретной детали, и она работает в условиях упругих деформаций.

При растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня = = .

При растяжении нормальные напряжения – положительные, при сжатии – отрицательные.

Обратить внимание, что при растяжении- сжатии возникают только нормальные напряжения.

Изменение длины стержня называют линейной продольной деформацией (абсолютным удлинением); изменение поперечного сечения - линейной поперечной деформацией.

Интенсивность деформирования оценивают деформациями, приходящимися на единицу длинны стержня: относительной продольной и относительной поперечной :

; .

Деформации бывают продольные и поперечные. Отношение поперечной деформации к продольной называется коэффициентом Пуассона .

0,2 0,5.

ЗАКОН ГУКА (открыт в 1660):

, (2)

где - абсолютная продольная деформация;

P – осевая внешняя сила;

F –площадь поперечного сечения;

E –модуль продольной упругости (модуль Юнга).

Закон Гука в форме (2) можно преобразовать, учитывая определения внутреннего напряжения ( = ) и относительной деформации ( ):

= E· . (3)

Максимальные напряжения при растяжении (сжатии): = .

Тогда можно сформулировать условия прочности и жесткости при растяжении (сжатии).

Условие прочности: .

Условие жесткости: .

Условие жесткости при растяжении (сжатии) можно записать и в другом виде:

= .

Изучить вопросы: закон Гука для абсолютных деформаций, закон Гука для нормальных напряжений.

Пример 2.Вычислить приращение длины стального стержня ступенчатого сечения, если = 50 см, = 80 см, = 40 см, = 60 см, Е=2· , = 10 , =20 , =200 кг, = 500 кг, = 700 кг (рис. 1). Построить эпюры нормальных напряжений и перемещений.

Решение