Применение законов сохранения энергии и импульса

К соударению абсолютно упругих и неупругих тел

Соударение (удар) – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Ударные силы столь велики, что внешними силами можно пренебречь; это позволяет систему тел в процессе соударения рассматривать как замкнутую и применять к ней законы сохранения.

Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций (механическая энергия не переходит в другие, немеханические виды) и вся кинетическая энергия, которой тела обладали до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. В этом случае выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар двух шаров. Обозначим скорости шаров массами и до удара и , после удара – и (рис.3.3). Законы сохранения импульса и энергии при этом имеют вид:

.

Решая эти уравнения, находим

, .

Рис.3.3. Абсолютно упругий удар двух тел

Частные случаи:

1) если , то и (шары обмениваются скоростями). Например, при столкновении первого шара с неподвижным вторым ( ) первый шар останавливается ( ), а второй движется со скоростью первого ( ) (рис.3.4).

2) если >> (столкновение шара со стенкой), , (скорость стенки не изменится). При столкновении шара с неподвижной стенкой ( ) получим , то есть шар отскакивает с первоначальной скоростью, меняя направление на противоположное.

Рис.3.4. Абсолютно упругий удар тел с равными массами

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела движутся вместе либо покоятся. Кинетическая энергия тел полностью или частично переходит в их внутреннюю энергию. В этом случае выполняется закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии не выполняется, выполняется закон сохранения суммарной энергии – механической и внутренней.

Рассмотрим центральный абсолютно неупругий удар двух шаров массами и , имеющих до удара скорости и . После удара они будут двигаться с общей скоростью (рис.3.5), которую найдем из закона сохранения импульса:

, .

Рис.3.5. Абсолютно неупругий удар двух тел

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом.

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент инерции

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси отдельные точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Основы кинематики вращательного движения были изложены в разделе 1.5.

Для описания вращательного движения твердого тела вводят понятие момента инерции.

Моментом инерции I материальной точки называется скалярная физическая величина, определяемая произведением ее массы на квадрат радиуса окружности , по которой она может двигаться относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО‛ (рис.4.1,а)

.

а) б)

Рис.4.1. К определению понятия момента инерции

Если твердое тело, вращающееся относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО', представить в виде системы материальных точек массой и просуммировать моменты инерции этих так называемых элементарных масс, то получим момент инерции всего тела

где – радиус вращения i–й элементарной массы, а интеграл берется по всему объему тела (рис. 4.1,б). Для однородных тел, для которых плотность (где – масса тела, а – его объем, т.е. плотностьопределяется массой, заключенной в единице объема), момент инерции будет вычисляться по формуле

, т.е. .

Ниже приведены значения моментов инерции для некоторых однородных тел правильной формы с массой относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Таблица 2

Моменты инерции тел правильной формы

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Для определения момента инерции тела относительно произвольной оси используется теорема Штейнера.

Теорема Штейнера:если известен момент инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела (обозначим его I_o), то момент инерции тела
относительно любой параллельной ей оси ZZ' (обозначим его ) равен

,

где – масса тела; d – расстояние между осями (рис.4.2).