Кинетическая и потенциальная энергия
Кинетическая энергия 
механической системы – это энергия механического движения этой системы.
Работа 
силы 
на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до 
, идет на увеличение кинетической энергии 
тела, т.е.
.
Но 
,
откуда
.
Таким образом, тело массы 
, движущееся со скоростью 
, обладает кинетической энергией
.
Кинетическая энергия – величина аддитивная. Так, энергия системы из n материальных точек равна сумме кинетических энергий этих материальных точек
.
Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией 
Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии системы:
.
Но 
, тогда 
и потенциальную энергию системы можно найти как
,
где 
- постоянная интегрирования, то есть потенциальная энергия может быть определена с точностью до некоторой произвольной постоянной. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то положении полагают равной нулю, а энергию в других положениях отсчитывают относительно этого нулевого уровня (за нулевой уровень можно принять, например, уровень пола, уровень моря и т.д.).
Для консервативных сил
или 
,(3.2)
где
(3.3)
Вектор, определяемый выражением (3.3), называется градиентом скаляра 
Таким образом, выражение (3.2) показывает, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.
Потенциальная энергия тела массой 
, поднятого на высоту 
над поверхностью Земли, равна
,
где высота 
отсчитывается от уровня, для которого 
Потенциальная энергия упругодеформированного тела (пружины)
.
Полная механическая энергия 
системы – сумма кинетической и потенциальной энергий системы:
.
Закон сохранения энергии
Рассмотрим систему из n материальных точек массами 
, движущихся со скоростями 
( 
<< 
). Пусть 
и 
- равнодействующие внутренних и внешних консервативных сил, действующих на 
-ю точку, а 
- равнодействующая внешних неконсервативных сил, действующих на 
-ю точку. Уравнения второго закона Ньютона для этих точек:
............................................
.
За интервал 
точки совершают перемещения 
. Умножим каждое уравнение на соответствующее перемещение и учитывая, что 
, получим
..................................................................
.
Сложив эти уравнения, получим
.
Здесь 
– приращение кинетической энергии системы; 
- работа внутренних и внешних консервативных сил, взятая с обратным знаком, равная приращению потенциальной энергии системы; 
- работа внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Итак, имеем
.
Изменение полной механической энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 равно работе внешних неконсервативных сил:
.
Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то 
, откуда
, (3.4)
т.е. полная механическая энергия системы сохраняется. Выражение (3.4) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.
Механические системы, где действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной, могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот. В частности, этот закон справедлив и для замкнутых консервативных систем.
В диссипативных системах механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) виды энергии. Этот процесс называется диссипацией(или рассеянием) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.
В системе, где действуют также неконсервативные силы, полная механическая энергия не сохраняется, и закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
Отметим, что закон сохранения энергии – фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.