Изучения законов сохранения момента импульса и сохранения энергии при неупругом соударении

Цель работы:Изучение законов сохранения при неупругом соударении двух тел. Определение скорости полета пули при помощи крутильно-баллистического маятника.

Приборы и принадлежности: Крутильно –баллистический маятник, стреляющее устройство, универсальный миллисекундомер.

Теоретическое введение

Крутильно–баллистический маятник представляет собой массивное тело, подвешенное на тонкой упругой струне или кварцевой нити (рис.1). при попадании в него выпущенной стреляющим устройством «пули» маятник начинает совершать крутильные колебания, т.е. повороты по часовой и против часовой стрелки попеременно. Пуля соударяется с маятником не упруго (застревает в мишени) и, следовательно, совершает колебания вместе с маятником.

	Рис.1. Крутильно-баллистический маятник

Если импульс непосредственно перед ударом будет равен mu, то возможный момент импульса пули относительно оси колебаний можно записать так:

L_n=mu l (1)

где l –расстояние от оси колебаний до точки, в которой происходит удар: m –масса пули; u -скорость пули.

Маятник до удара неподвижен, поэтому момент его импульса равен нулю.

L_М=0. (2)

Очевидно до соударения система “маятник-пуля” будет иметь момент импульса, равный:

L₁= L_М +L_n. (3)

С учетом (1) и (2) перепишем (3) в виде:

L₁= L_n = mu l . (4)

После удара момент импульса пули определится соотношением

L¢_n=I_nw, (5)

где I_n –момент инерции пули относительно оси колебаний маятника, w -его угловая скорость.

Момент импульса маятника после удара будет иметь вид

L¢_М=Iw, (6)

где I –момент инерции маятника относительно оси его колебаний, w - угловая скорость маятника в момент окончания взаимодействия пули с мишенью.

Следовательно, после удара момент импульса в той же системе “маятник-пуля” будет иметь вид:

L₂ =L¢_n + L¢_М. (7)

С учетом (5) и (6) перепишем (7) в виде

L₂ =( I_n + I)w. (8)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

L₁ = L₂. (9)

Из уравнений (4), (8), (9) находим, что

mu l=( I_n + I)w. (10)

поскольку масса пули значительно меньше массы маятника, то можно пренебречь моментом инерции пули по сравнению с моментом инерции маятника, т.е. принять I_n =0. С учетом этого (10) примет вид

mu l=Iw,

откуда получаем для скорости пули следующее соотношение:

, (11)

где m –масса пули. Величина m и l измеряются непосредственно, а величины w и I измеряются следующим образом.

Для определения угловой скорости w используем закон сохранения и превращения энергии, в крутильных колебаниях (аналогично линейным колебаниям) он сводится к тому, что кинетическая энергия Е_к в положении равновесия, когда нить подвеса не закручена, равна потенциальной энергии Е_п в наибольшем удалении от него, когда нить подвесам максимально закручена т.е. Е_к=Е_п. кинетическая энергия крутильных колебаний баллистического маятника определится по формуле:

(12)

Так как I_n << I , то с учетом этого формулу (12) можно переписать в виде:

(13)

с другой стороны Е_п –потенциальная энергия упругой деформации кручения, которая измеряется работой, которую нужно совершить внешней закручивающей силой, т.е.

Е_п=А. (14)

Используя закон Гука

М=-kj, (15)

где М –момент силы упругости (упругий момент), j -угол закручивания,

k –модуль кручения, а также, используя третий закон Ньютона, можно записать, что момент закручивающей силы равен:

М₁= - М. (16)

Сравнивая равенства (15) и (16), находим, что

М₁=kj. (17)

Отсюда видно, что момент закручивающей силы (как и момент упругой силы) является величиной переменной, зависящая от угла закручивания j. Поэтому для вычисления работы надо пользоваться теорией бесконечной малых величин. Взять угол закручивания столь малым (dj), чтобы в его пределах было M=const. Тогда можно записать

dА=М₁dj.. (18)

Из (17), (18) следует

dА= kjdj.. (19)

Работа закручивания проволоки на конечный угол определится, если равенство (19) проинтегрировать.

. (20)

Сравнивая формулы (14) и (20), получим потенциальную энергию упругой деформации кручения

. (21)

учитывая, что Е_к=Е_п , левой части формул (13) и (21) можно приравнять

,

откуда

. (22)

Период колебаний крутильно-баллистического маятника определяется формулой

. (23)

Из (22), (23) имеем , откуда

(24)

Равенство (24) является рабочей формулой для определения угловой скорости.

Для определения момента инерции маятника исключим величину k из формулы (23). Для этого необходимо изменять момент инерции маятника, увеличивая или уменьшая расстояние между грузами. Тогда

(25)

I₁ -I=DI, (26)

где Т₁ –период колебаний при новом значении момента инерции I₁ ; DI –разность моментов инерции.

Из двух уравнений (25) можно записать следующее соотношение

(27)

Из уравнения (26) и (27) следует

(28)

Величину DI определяют, учитывая теорему Штейнера. Очевидно,

I₁ = I₀+2(МR²₁+ I^*₀), (29)

I = I₀+2(МR²₁+ I^*₀), (30)

где I₀ –момент инерции системы без грузов относительно оси ее вращения, I^*₀ –момент инерции груза с массой относительно оси, проходящей через центр тяжести груза и параллельной оси вращения маятника, I –момент инерции всей системы, когда центр тяжести каждого груза находится на расстоянии R от оси вращения, МR² –момент инерции груза относительно оси маятника, I₁ –момент инерции системы, когда оба груза находятся на расстоянии R₁, М –масса одного груза.

Пусть R₁ >R, тогда из уравнений (29), (30) получаем

DI = I₁ –I=2М (R²₁ - R²) , (31)

Из (28), (31)

. (32)

По формуле (32) определяем момент инерции маятника

Из уравнений (11), (24), (32) окончательно получим

(33)

Краткое описание установки

Основание 1 прибора (Общий вид изображен на рис. 2) оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют горизонтально выравнивать прибор. В основании закреплена колонка 3, на которой закреплен верхний 4, нижний 5и средний 6 кронштейны. К среднему кронштейну прикреплено стреляющее устройство 7, а также прозрачный экран с нанесенными на него угловой шкалой 8 и фотоэлектрический датчик 9. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки 13, на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек, наполненных пластилином 10, двух перемещаемых грузов 11, двух стержней 12, водилки 14.

Фотоэлектрический датчик соединен с привинченным к основанию универсальным секундомером 15 (FPM-14). На лицевой панели универсального миллисекундомера размещены следующие манипуляционные элементы:

«Сеть» -включатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения, которое определяют по свечению цифровых индикаторов (высвечивает цифру нуль) и лампочки фотоэлектрического датчика;

«Сброс» -сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызывает сброс схемы миллисекундомера FPM-14 и генерирование сигнала разрешение на измерение;

«Стоп» -окончание измерения. Нажатие этой клавиши вызывает генерирование сигнала разрешения на окончание процесса подсчета.