Закон сохранения импульса. Центр масс системы

Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Силы взаимодействия между материальными точками системы называются внутренними. Силы, с которыми внешние тела действуют на материальные точки системы, называются внешними. Механическая система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной).

Из третьего закона Ньютона следует, что в любой механической системе геометрическая сумма всех внутренних сил равна нулю:

,

где n – число материальных точек в системе, а .

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется точка С, радиус-вектор которой равен

, (2.5)

где и – масса и радиус-вектор i-й материальной точки, а – масса всей системы.

Скорость центра масс определяется как производная радиуса-вектора (2.5)

. (2.6)

Геометрическая сумма импульсов всех материальных точек системы в правой части выражения (2.6) называется импульсом системы . Очевидно, что . Из второго и третьего законов Ньютона следует, что первая производная импульса системы по времени равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе,

.

Это уравнение выражает закон изменения импульса системы. На основании его можно сформулировать закон движения центра масс механической системы:

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

Математическая запись этого закона имеет вид

, или ,

где – ускорение центра масс.

Если механическая система является замкнутой, т.е. главный вектор внешних сил равен нулю, то, очевидно,

или .

Это и есть закон сохранения импульса замкнутой системы, являющийся одним из фундаментальных законов физики.

Силы в механике

2.4.1. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести

Исаак Ньютон на основании законов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тяготения: между любыми материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек ( и ) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними ( ):

.

Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной, . Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Ввиду малой величины сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением , которое называют ускорением свободного падения. Поэтому в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой действует сила

,

называемая силой тяжести.

Ускорение свободного падения изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли и ее сплюснутостью у полюсов. Для решения практических задач используется значение .

Сила тяжести приближенно равна силе гравитационного притяжения тела к Земле (различие не превышает 0,36 % и обусловлено тем, что система отсчета, связанная с Землей, из-за её вращения не вполне инерциальная). Для тела на поверхности Земли

,

где – масса Земли, - радиус Земли.

Для тела, расположенного на высоте от поверхности Земли,

.

Если подвесить тело (рис.2.2,а) или положить на опору
(рис.2.2,б), оно будет покоиться относительно Земли; при этом сила тяжести уравновешивается силой реакции подвеса или опоры ( ). По третьему закону Ньютона тело действует на подвес или опору с силой , которую называют весом тела.

Вес тела – это сила, с которой тело действует на вертикальный подвес или горизонтальную опору вследствие гравитационного притяжения к Земле.

а) б)

Рис.2.2. К определению понятия веса тела

В отсутствие вертикального ускорения силы и уравновешивают друг друга и . Но по третьему закону Ньютона . Следовательно,

.

Однако вес равен только в том случае, если тело и опора (подвес) неподвижны относительно Земли. Если опора (подвес) движется вместе с телом с ускорением , вес тела равен

.

2.4.2. Силы трения

Трение играет большую роль в природе и технике. Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение.

Внешним трением называется трение, возникающее между соприкасающимися поверхностями тел при их относительном перемещении. Если вдоль границы соприкасающихся тел хотя бы к одному из них приложена внешняя сила, но при этом тела неподвижны друг относительно друга, то говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения или качения.

Внутренним трением называют трение между частями одного и того же тела (например, между слоями жидкости или газа, движущимися с разными скоростями).

Рассмотрим закономерности сухого трения на примере тела, лежащего на плоскости, к которому приложена горизонтальная сила (рис.2.3). Тело придет в движение лишь тогда, когда сила будет больше силы трения покоя.

Сила трения скольже­ния , а также максималь­ная сила трения покоя по модулю про­порциональны силе нор­мального давления, прижи­мающей трущиеся поверхности друг к другу

,

где – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Если приложенная сила не превышает максимального значения силы трения покоя, то тело не придет в движение.

Для тела, движущегося вдоль наклонной плоскости (рис.2.4), коэффициент трения равен тангенсу угла наклона , при котором начинается скольжение тела по данной плоскости

.

Рис.2.4. Тело на наклонной плоскости

Уменьшить силу трения можно, например, нанося на трущиеся поверхности смазку, заполняющую неровности между поверхностями, или заменив трение скольжения трением качения. Как показывают опыты, сила трения качения пропорциональна силе нормального давления и обратно пропорциональна радиусу катящегося тела (например, колеса, цилиндра или шара):

.

2.4.3. Силы упругости

Все тела под действием приложенных к ним сил деформируются, т.е. изменяют свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой (упругие деформации наблюдаются, если деформирующая сила не превосходит предел упругости). Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными).

Рассмотрим пружину длиной , один конец которой закреплен неподвижно, а к другому приложена внешняя сила (рис. 2.5). Согласно закону Гука, сила упругости, возникающая в пружине, прямо пропорциональна удлинению пружины

,

где - проекция силы упругости на ось ; - жесткость пружины; - удлинение пружины.

Рис.2.5. К закону Гука

Однородные стержни ведут себя при растяжении или одностороннем сжатии подобно пружине. Если к концам стержня длиной и площадью поперечного сечения приложить направленные вдоль его оси силы и ( ), то длина стержня увеличится (при растяжении) или уменьшится (при сжатии) на (рис.2.6).

Рис.2.6. Деформации растяжения-сжатия в упругом стержне

Количественной мерой деформации стержня является относительная деформация

.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением:

.

Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным, если же по касательной – тангенциальным.

Экспериментально установлено, что относительное удлинение и напряжение прямо пропорциональны друг другу:

,

где коэффициент пропорциональности называется модулем Юнга. Измеряется эта величина в паскалях (1 Па=1 Н/м²). Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ