Закон сохранения импульса системы тел и положения ее центра масс

Импульс системы тел сохраняется или в двух случаях: если система тел замкнутая и в быстрых процессах (взрыв, распад системы, столкновения тел), для которых интервал времени протекания процесса . Это следует из второго закона Ньютона в дифференциальной и интегральной форме

,

Если выполняется условие , то говорят о замкнутости системы в направлении оси X и сохранении импульса системы в направлении этой оси:

Если начальный импульс системы тел равен нулю и он сохраняется, то есть

(в любой момент t),

то положение ЦМ системы сохраняется: .

Если система замкнута в направлении оси X и ее начальный импульс равен нулю, то в этом случае сохраняется положение ЦМ системы в направлении этой оси: .

Пример 1. Человек массой m переходит с одного конца лодки массой M и длиной l на другой ее конец со скоростью относительно лодки. Найти скорость лодкии ее перемещение x относительно земли, когда человек перейдет на другой конец лодки.

Дано: m, M, l, . Найти:

Решение: Система (лодка и человек +вода) является замкнутой и, в частности, замкнутой в направлении оси X, параллельной поверхности воды (рис.36). Поэтому в системе лодка-человек имеет место закон сохранения импульса, который в начальный момент времени был равен нулю. Наличие сил трения между лодкой и водой не нарушает замкнутость системы в направлении оси X и не влияет на величину перемещения лодки относительно воды.

Рис.36

Во избежание ошибок в знаках проекций векторов задачу будем решать в векторной форме. При движении человека по лодке со скоростью лодка придет в движение со скоростью относительно берега реки и станет движущейся системой отсчета, и скорость человека относительно земли будет равна .Закон сохранения импульса в системе лодка-человек в системе отсчета, связанной с землей, имеет вид

.

Откуда скорость лодки относительно берега равна .Знак ( ) означает анти параллельность векторов и .В скалярной форме .

Умножая обе части этого равенства на время t движения человека по лодке и обозначая и , получим для смещения лодки относительно берега .

Второй способ решения задачи основывается на сохранении положения ЦМ системы лодка-человек, если ее начальный импульс был равен нулю и сохраняется.

Выберем начало О оси X на противоположном начальному положению человека конце лодки, а ось X направим вдоль лодки в направлении человека. Положение ЦМ системы человек-лодка при t=0 в выбранной СО , а после его перехода на другой конец лодки . Из условия опять получим .Разделив обе части этого равенства на время t движения человека по лодке и обозначая и придем к прежнему выражению для скорости лодки относительно берега.

Ответ: , .

Пример 2. На параллелепипед с массой M, находящимся на горизонтальной гладкой поверхности, лежит тело массой m. Телу сообщают горизонтальную начальную скорость . Найти ускорение, с которым будет двигаться параллелепипед после толчка, и ускорение движения тела относительно параллелепипеда. Какой путь и за какое время пройдет тело при его движении по поверхности параллелепипеда до остановки? На какое расстояние сместится параллелепипед за это время? Какова начальная скорость параллелепипеда после толчка? Коэффициент трения между телом и параллелепипедом равен μ. Трение между параллелепипедом и горизонтальной поверхностью отсутствует.

Дано: . Найти:

Решение: Для решения задачи выберем две СО: неподвижную XOY, связанную с горизонтальной плоскостью, и движущуюся – , связанную с параллелепипедом. Оси X и направим параллельно горизонтальной плоскости (рис.37) в направлении ускорений параллелепипеда и тела

Рис.37

После толчка тела между телом и параллелепипедом возникнут силы трения и параллелепипед начнет двигаться с ускорением , а на тело подействует сила инерции .

Из второго закона Ньютона для параллелепипеда (рис.37) найдем его ускорениев неподвижной СО , а из второго закона Ньютона для тела его ускорение в движущейся СО . Ускорения тел связаны соотношением .

Путь, пройденный телом и время его движения по поверхности параллелепипеда до остановки равны

, .

Система двух тел является замкнутой и, в частности, замкнутой в направлении осиX. Поэтому в системе имеет место закон сохранения импульса, который в начальный момент времени был равен нулю. С учетом, что в неподвижной СО скорость тела равна закон сохранения импульса в рассматриваемой системе двух тел будет в момент времени t=0 в неподвижной СО иметь вид

Откуда скорость параллелепипеда после толчка тела равна .В скалярной форме . В произвольный момент времени связь между скоростями тел будет такой же .

Смещение параллелепипеда за время движения тела по его поверхности найдем из закона сохранения положения ЦМ системы. Для этого выберем начало О СО XOY в точке конечного положения тела, а ось X направим в сторону его начального положения (рис.36). Обозначая положение ЦМ параллелепипеда, получим для начального и конечного положений ЦМ системы: , . Из условия приходим к уравнению , из которого находим смещение параллелепипеда .

Уравнения движения тел в неподвижной и движущейся СО в проекциях на направления скоростей их движения и предположения имеют вид

; .

Ответ: , , , , , .

Пример 3.Решить предыдущую задачу в предположении, что начальная скорость была сообщена параллелепипеду (рис.37).

Дано: .Найти:

Решение: Ускорения тел, входящие во второй закон Ньютона, не зависят от их начальной скорости, и они после толчка будут двигаться с теми же ускорениями , .

Закон сохранения импульса в системе будет иметь такой же вид, как и в предыдущем примере. Решая полученное уравнение относительно параметра , получим для начальной скорости тела . Тогда путь и время движения тела по поверхности параллелепипеда будут равны (конечные выражения отличаются для полученных в предыдущем примере)

, .

Закон сохранения положения ЦМ системы не изменится и из него получим для смещения параллелепипеда за время движения тела по нему .

Ответ: , , , , , .

Столкновения тел

Различают следующие виды соударений тел: абсолютно неупругое, частично-упругое и абсолютно упругое. Если процесс столкновения быстрый , то имеет место закон сохранения импульса в системе сталкивающихся тел.

Абсолютно неупругое столкновение тел.При этом виде столкновения тела слипаются и после столкновения движутся вместе(рис.38).

Рис. 38

Любое столкновение тел описывается законом сохранения импульса и энергии. В данном случае, обозначив импульсы тел до и после столкновения , , и Q – выделившееся при ударе тепло,получим

.

Возведя первое равенство в квадрат, найдем квадрат импульса тел после столкновения, а из второго – выделившееся при ударе тепло

, ,

где – угол между векторами импульсов тел до их столкновения.

При прямом центральном ударе скорость тел после столкновения , а выделившееся при ударе тепло

,

где и – проекции скоростей тел и на направление их движения и имеют знак .

Частично упругое столкновение тел.Ограничимся случаем лобового столкновения тел. При этом виде удара тела не слипаются, но после столкновения у них имеется остаточная деформация (вмятины) и выделяется при ударе тепло . Законы сохранения импульса в проекциях на направление движения тел и энергии в этом случае будут иметь вид

,

где и – скорости тел до и после их столкновения.

Абсолютно упругое столкновение тел. При этом виде столкновения тела после столкновения восстанавливают свою форму и остаточная деформация у них отсутствует, поэтому выделившееся при ударе тепло

Рис.39

Система уравнений, описывающая удар (рис.39), будет иметь вид

, .

Эту систему уравнений можно свести к линейной. Для этого перенесем члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства. Получим

, .

Разделив второе уравнение на первое и добавив к полученному уравнению закон сохранения импульса, придем к линейной системе уравнений

, ,

решая которую, получим

, .

В этих уравнениях и – это проекции скоростей тел на выбранное направление оси проецирования X и имеют знак . Если при расчетах будет получено , это означает, что скорость тела после столкновения тел направлена противоположно выбранному направлению оси X.