Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
Растяжение или сжатие прямого бруса – это вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Если продольная сила направлена от сечения, то брус – растянут. В противном случае он будет сжат. Растяжение считается положительной деформацией, а сжатие – отрицательной. Если на различные участки бруса действуют разные по величине и направлению силы, то они будут находиться в различном напряженном состоянии. Напряжения в участках бруса оценивают по эпюрам напряжений.
Эпюра продольной силы в прямом брусе – это график распределения продольной силы вдоль его оси (рис. 4).
Рис. 4 Эпюра продольных сил в прямом брусе
Ось эпюры параллельна продольной оси бруса. Если на разных участках бруса действуют различные силы, то в пределах каждого участка их величина остается неизменной, а при переходе к следующему участку изменяется: противоположно направленные силы вычитаются, однонаправленные – складываются. Правильность построения эпюры проверяется по наличию скачка сил в месте приложения внешней силы. На эпюре проставляют значения реакции N = Fi – Fi+1 . При построении эпюры сил в закрепленном стержне используют принцип смягчения граничных условий: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления.
При построении эпюр напряжений стержень разбивают на участки, в пределах которых силы неизменны по величине, а в пределах каждого участка учитывают изменение площади поперечного сечения. Таким образом, эпюра напряжений в общем не соответствует эпюре приложенных сил (рис. 5).
При этом используют гипотезу плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным оси.
Рис. 5 Эпюры сил и напряжений в прямом ступенчатом брусе
При растяжении и сжатии в сечении действуют только нормальные напряжения, величина которых прямо пропорциональна действующей силе N и обратно пропорциональна площади поперечного сечения Р.
По величине напряжений, действующих в теле, осуществляют расчет на прочность, под которой понимают способность тела сопротивляться разрушению по действием внешних сил.
Используется два метода расчета на прочность: проектный и поверочный. В первом случае определяют:
- предельные размеры детали по площади поперечного сечения Р = N /σ;
- выбирают материал детали по пределу прочности σ = N / Р.
При поверочном расчете проверяют выполнение условия: σ = N / Р < [σ], где [σ] – предел прочности – максимальные напряжения, которые данный материал выдерживает без разрушения.
Закон Гука
До тех пор, пока напряжения в теле не превышают предела пропорциональности, между напряжением и деформацией имеет место линейная зависимость, представляющая собой закон Гука:
σ = Еε, (1)
где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга);
ε – относительная деформация.
Поскольку σ =N / F, а ε = Δl / l, то из выражения (1) следует, что:
Δl = N l / E F (2)
Произведение E F представляет собой жесткость поперечного сечения при растяжении.
В общем случае стержня переменного сечения (рис. 6) выражение (2) может быть представлено в интегральной форме:
 |
P
Рис. 6 Растяжение стержня переменного сечения
Закон Пуассона
Опытным путем установлено, что при простом растяжении-сжатии отношение величины поперечной деформации продольной есть величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по модулю, представляет собой коэффициент Пуассона:
 |
где ε’ и ε – поперечная и продольная деформации (соответственно).
Коэффициент Пуассона изменяется в пределах от 0 для пробки до 0,5 для каучука и наряду с модулем Юнга является одной из важнейших механических характеристик материалов.
Изгиб прямого бруса
Деформация изгиба характеризуется тем, что геометрическая ось бруса (стержня) искривляется под действием поперечной (изгибающей) нагрузки (рис. 7). Изгибающая нагрузка делится на сосредоточенные силу Р [H] и момент М [Hм], распределенные силу q [Н/м] и момент m [Н.м/м]. Брус или стержень, работающий на изгиб, называют балкой, а ее изогнутую ось – упругой линией. Наибольшая изгибная деформация балки называется прогибом У.
Рис. 7 Схема действия изгибающих нагрузок на балку
Изгиб делится на прямой, происходящий под влиянием нагрузки, плоскость действия которой проходит через центральную ось балки и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, и косой, когда плоскость действия нагрузки проходит через геометрическую ось балки, но не совпадает ни с одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения (рис. 8).
В процессе изгиба ближайшие к нагрузке волокна балки оказываются сжатыми, а наиболее удаленные – растянутыми. Граница между сжатыми и растянутыми волокнами представляет собой слой, который искривляется не растягиваясь и не сжимаясь. Этот слой называется нейтральным. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нулевой или нейтральной линией.
Балки закрепляют несколькими способами, от которых зависит жесткость заделки и количество реакций в опорах (рис. 9).
 | |||||
 | |||||
 |
а б в
Рис. 8 Прямой (а) и (б) и косой (в) изгиб балки
R R
H H
 |  | ||
M M
a б
R R
 | |||
 | |||
M H
 | |||||
 | |||||
 | |||||
в г
R
д
Рис. 9 Виды закрепления балок:
- жесткая неподвижная заделка (а) и (б)
- жесткая подвижная заделка (в)
- шарнирная неподвижная опора (г)
- шарнирная подвижная опора (д)