Напряжения при растяжении (сжатии

Напомним, что под растяжением (сжатием) понимают такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор — продольная сила N_z. Поскольку продольная сила численно равна сумме проекций, приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на ось стержня (для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью Oz), то растяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы, действующие по одну сторону от данного поперечного сечения, сводятся к равнодействующей, направленной вдоль оси стержня (рис. 1). Одна и та же продольная сила N_z при действии на различные части стержня (левую или правую) имеет противоположные направления. Знак N_z зависит от характера вызываемой ею деформации. Продольная сила считается положительной, если вызывает растяжение элемента (рис. 2, а), и она отрицательна, если вызывает сжатие (рис. 2,б).

Рис.1. Расчетная схема

Рис.2. а) Растяжение и б) сжатие

Для того, чтобы сформулировать предпосылки теории растяжения (сжатия) призматического стержня, обратимся к эксперименту. Представим себе стержень, изготовленный из какого-либо податливого материала (например, резины), на боковую поверхность которого нанесена система продольных и поперечных рисок (рис. 3, а). Эта ортогональная система рисок остается таковой и после приложения растягивающей нагрузки (рис. 3, б). Поскольку поперечные риски являются следами поперечных сечений на поверхности стержня и остаются прямыми и перпендикулярными к оси стержня то это свидетельствует о выполнении гипотезы плоских сечений (Бернулли). С учетом гипотезы об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон приходим к выводу, что деформация растяжения стержня сводится к одноосному растяжению его продольных волокон, и в поперечном сечении стержня возникают лишь нормальные напряжения а (рис. 4), индекс г у которых опускаем. Ортогональность продольных и поперечных рисок свидетельствует также об отсутствии сдвигов, а, следовательно, и связанных с ними касательных напряжений т в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рис.3. Модель растянутого стержня

Рис.4. Связь напряжения и усилия

Тогда продольная сила N_z равная сумме проекции внутренних сил, действующих в данном поперечном сечении площадью F (рис. 4) очевидно будет равна

.

Это соотношение является уравнением равновесия статики, связывающим продольную силу N_z, и нормальное напряжение , которое в общем случае является функцией координат х и у и поэтому не может быть найдено из одного лишь 1 уравнения статики. Таким образом, задача определения напряжений даже в самом простом случае деформирования стержня (растяжении или сжатии) оказывается статически неопределимой.

Необходимое для решения этой задачи дополнительное уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений. Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к оси стержня, в процессе деформирования лишь поступательно перемещаются вдоль оси стержня (что приводит к одинаковому удлинению всех продольных волокон), то приходим к уравнению =const, из которого ввиду однозначности связи и (для линейно-упругого материала это—закон Гука: .)вытекает, что

Решая совместно уравнения получим, что или

Таким образом, при растяжении (сжатии) призматического стержня нормальные напряжения равномерно распределены по поперечному сечению, а касательные напряжения в сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы плоских сечений. Указанное, несмотря на, казалось бы, очевидность и простоту, является фундаментальным результатом, справедливым, строго говоря, лишь для призматического стержня. Однако в инженерной практике его используют и для приближенной оценки нормальных напряжений в стержнях переменного сечения. При этом, чтобы погрешность формулы была невелика, необходимо, чтобы площадь поперечного сечения стержня изменялась достаточно плавно вдоль его оси.

Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:

(1)

где —допускаемое напряжение. Напряжение в условии (1) подставляется по модулю, так как знак в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия

где и —напряжения растяжения и сжатия, а и — ответствующие им допускаемые напряжения