Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение

Не всякое плоское движение является равноускоренным. Пример плоского неравноускоренного движения, известный вам из школьного курса физики, — это равномерное движение по окружности.Давайте рассмотрим его здесь. Поскольку это движение плоское, выберем в качестве этой плоскости, плоскость ХУ. Начало координат выберем в центре окружности.

Координаты частицы выразим через величину радиуса окружности r и угол φ: x=r cosφ,

y=r sinφ.

Поскольку движение происходит по окружности, r от времени не зависит. Функцией времени является только угол φ(t). Производная от угла по времени называется угловой скоростью вращения w:

. (3.1)

При равномерном вращении по окружности w=const и можно проинтегрировать это уравнение, результате

φ=wt+const. (3.2)

Константа интегрирования выбирается из условия φ(0)=0. Таким образом,

x=r coswt,

y=r sinwt.

Это полностьюопределяет движение.

Для характеристики изменения угловой скорости вводится понятие – угловое ускорение.

Средним угловым ускорением называется вектор < >, равный отношению вектора Δ = ₂ – ₁ к промежутку времени Δt, в течение которого произошло изменение угловой скорости:

< > = .

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени, получим вектор мгновенного углового ускорения тела в момент времени t:

= = (3.3)

или с учетом, что угловая скорость есть первая производная угловой координаты от времени

= . (3.4)

Очевидно, что вектора < > и совпадают по направлению с вектором изменения угловой скорости Δ .

При рассмотрении вращательного движения мы ввели угловую скорость вращения w как производную по времени от угла поворота. Давайте теперь зададимся вопросом, какой величиной, скалярной или векторной, является угол поворота. Ведь когда говорят о повороте, нужно указывать не только величину угла поворота, но и то, вокруг какой оси происходит вращение (поворот) и в какую сторону (по часовой стрелке или против). С этой точки зрения угол поворота должен быть величиной векторной. Поэтому, говоря о повороте на какой-то малый угол Dφ, можно приближенно говорить о векторе Dφ, величина которого равна углу поворота, а направление показывает направление оси вращения так, чтобы поворот происходил по часовой стрелке, или в соответствии с правилом буравчика.

Если речь идет о бесконечно малых поворотах dφ, тогда бесконечно малым является и перемещение dr. Его величина (равная длине хорды) совпадает теперь с длиной дуги, то есть \dr\=rdφ, а по направлению вектор dr совпадает с касательной, то есть перпендикулярен r. В результате мы имеем три взаимно перпендикулярные вектора r, dr и dφ, образующие правую тройку, причем |dr| = dφ r. Те, кто помнят из школьного курса о векторном произведении векторов, без труда сообразят, что искомое соотношение можно записать в виде векторного произведения:

dr=[dφ ´ r]. (3.5)

Разделив обе стороны этого равенства на бесконечно малый временной интервал dt, в течение которого произошло изменение вектора r на dr, мы получим .

Но величина, стоящая в левой части равенства, есть не что иное, как скорость частицы υ, а производная = wназывается вектором угловой скорости.Ее мы вначале ввели по абсолютной величине, а теперь показали, что имеет смысл говорить об угловой скорости вращения как о векторе. Ее величина определяет величину угловой скорости (скорость вращения, или скорость изменения угла), а направление параллельно оси вращения, причем так, что имеет место правило буравчика. Итак, мы получили, что υ = [w ´ r]. Ориентация этих трех векторов показана на рис. 3.2.

Чтобы получить ускорение а, надо от обеих частей взять производную по времени. Если wпостоянно (как по величине, так и по направлению), то ускорение оказывается перпендикулярным угловой скорости вращения wи скорости движения υ. А поскольку последняя направлена по касательной, то, значит, ускорение направлено либо параллельно r, либо антипараллельно.

Поскольку вектор ускорения не совпадает по направлению с вектором скорости, то удобней ускорение разложить на две компоненты:

в направлении скорости – _t (тангенциальное ускорение); в перпендикулярном направлении – _n (нормальное ускорение), т.е.

= _t + _n

или

а = (3.6)

Тангенциальное ускорение _t характеризует быстроту изменения численного значения скорости движения, нормальное ускорение _n характеризует быстроту изменения направления скорости, тогда

= , а_t = , а_n = .

Поскольку вращательное движение может быть описано не только в угловых переменных, но и в линейных, установим между ними связь.

Из рис. видно, что dr = R sin dφ = R dφ (если угол выражен в радианах). По определению , тогда

υ =ω R. (3.7)

Нормальное ускорение а_n = , тогда

а_n = ω² R. (3.8)

Тангенциальное ускорение

а_t = = ,

тогда

а_t = ε R. (3.9)

Полное мгновенное линейное ускорение а = , тогда

а = . (3.10)

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Лекция 4

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Движение относительно инерциальных систем отсчета. Законы Ньютона. Принцип относительности Галилея. Преобразование Галилея и Лоренца.

Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве и времени совместно с причинами, вызывающими это движение.

В основе динамики лежат законы И.Ньютона, сформулированные им в 1687 г. на основе экспериментальных данных и теоретических сведений, полученных Ньютоном и другими учеными.

При поступательном движении мерой механического воздействия на тела является сила . Это векторная величина. Сила представляет собой обобщенную замену реальных взаимодействий между телами.

Мерой инертности тела при поступательном движении является масса m тела.

После введения понятий сила и масса, законы Ньютона можно сформулировать так:

Первый закон Ньютона.Если на тело (материальную точку) не действуют ни какие силы или все действующие силы скомпенсированы, то тело будет находиться в состоянии покоя или равномерного, прямолинейного движения.

а = 0, когда F= 0. (4.1)

Второй закон Ньютона.Если силы, действующие на тело, не скомпенсированы, то тело будет двигаться с ускорением , величина которого пропорциональна результирующей силе и обратно пропорционально массе тела m:

.(4.2)

Третий закон Ньютона.Тела взаимодействуют друг с другом силами равными по величине и противоположными по направлению.

F₁₂ = -F₂₁, (4.3)

Первые два закона движения выполняются только тогда, когда наблюдение ведется в системах отсчета, движущихся без ускорения. Такие системы отсчета называются инерциальными.Например, если тело в одной системе отсчета движется с постоянной скоростью и имеется система отсчета, которая движется с ускорением относительно нее то, очевидно, что тело будет двигаться относительно этой системы отсчета с ускорением.

Примером может служить система отсчета, неподвижно связанная с самолетом, который быстро набирает скорость при взлете. Благодаря ускорению, вас прижимает назад, к сидению, а сила, действующая со стороны спинки сидения, удерживает вас в состоянии покоя относительно этой системы.

Если бы вы находились в состоянии равномерного движения или покоя относительно системы отсчета, не имеющей ускорения, то для этого не требовалось бы никакой силы. Но если вы хотите находиться в состоянии покоя относительно системы отсчета, движущейся с ускорением, то вы должны прилагать силу или испытывать действие силы со стороны другого тела. Движение (его характер) в системах отсчета, движущихся с ускорением, играет важную роль в физике. Такие системы отсчета называются неинерциальными.Особенно важно понять характер движения тел во вращающейся системе отсчета (практическое применение — центрифуга), хотя бы потому, что мы с вами находимся как раз в такой системе отсчета (на Земле). Если существует хотя бы одна инерциальная система, то таких систем должно быть бесконечное множество, так как любая система, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, тоже является инерциальной. Существует фундаментальный физический принцип, который называется принципом относительности Галилея.