Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)

Поставим перед собою такую задачу:

Пусть известна скорость жидкости Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru в точке Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru , определенный радиус-вектором Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

Требуется найти скорость в некоторой другой точке, отстоящей от Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru на некоторое малое расстояние δ Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru . Как это сделать?

Применяя формально правила дифференциального исчисления, можно записать равенство

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru (4.7)

Замечаем, что производная Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru представляет собой отношение двух бесконечно малых векторов Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru и Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

Раньше мы договорились, что отношение двух векторов есть тензор, однако вследствие многозадачности операции деления векторов тензор пока неизвестен.

Отыскание этого тензора требует специальных рассуждений.

Раньше мы получили (см. формула 3.47), что тензор ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )* можно рассматривать как производную от векторной функции Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru по векторному аргументу Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

Рассмотрим более детально тензор ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )*, в котором под вектором Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru будем понимать скорость. Для этого разложим тензор ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )* в соответствии с равенством (3.11) на симметричную и антисимметричную часть:

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru (4.8)

Выясним, какую физическую трактовку можно дать этим двум составляющим тензорам.

Представим себе жидкую частицу в форме маленького кубика с гранями, параллельными осям координат.

В процессе движения такой частицы из-за слабости связей между ее элементами одни точки ее будут перемещаться быстрее, а другие медленнее, причем направления скоростей в разных точках, совсем не обязательно должны совпадать.

В результате рассматриваемая частица изменит свою форму и через некоторый промежуток времени δt приобретет вид, показанный на рисунке штриховой линией.

(Рассматриваем сечение этой частицы плоскостью Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru ).

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Рис. Сечение жидкой частицы плоскостью xy

Однако если первоначальные размеры частицы были очень малы, то кривые линии, очерчивающие новые контуры частицы, можно с точностью до бесконечно малых высших порядков заменить прямыми, как это обычно делается в дифференциальном исчислении.

Рассмотрим, какие превращения должны были бы произойти с элементарным кубиком, чтобы он превратился в частицу другой формы и, вообще говоря, по-новому ориентированную в пространстве.

Чтобы не осложнять рассуждений, будем рассматривать сечение частицы плоскостью Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

Нарисуем частицу в более крупном масштабе, дополнив схему вспомогательными линиями и обозначениями.

Примечание:

Такой подход к деформации частицы основывается на переносе уже известных представлений из механики и сопротивления материалов в гидродинамику и распространении их на движение жидкой частицы.

Такой подход очень распространен в науке. Нужно лишь удостовериться в правильности выбранной гипотезы.

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

L
δj
δα
δj
δθ
δβ
δθ

Вообразим, что первоначальный контур частицы MNKL за интервал времени δt перешел в контур MABD путем трех последовательных превращений.

1. Вначале частица растянулась или сжалась вдоль осей Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

2. Затем она повернулась как единое целое на угол δγ.

3. Затем произошел ее сдвиг (сплющивание) на удвоенный угол δθ.

Замечание: выбор таких трех последовательных превращений частицы условен. Никаких оснований для этого нет, т.е. мы выдвигаем гипотезу, что растяжение, поворот и сдвиг деформируют частицу и т.о. переводят контур MNKL в контур MABD.

Такое расчленение движения удобно потому, что трудно уследить сразу за всеми изменениями, происходящими с частицей, которые в действительности протекают одновременно.

Возьмем любую точку внутри исходной частицы с координатами Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru по отношению к точке М.

Примечание:

эта скорость обусловлена растяжением или сжатием элементарной частицы по направлению оси Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

Посмотрим, какой величине будет пропорциональна скорость удаления этой точки от точки M в направлении оси x вследствие расширения или сжатия частицы.

Если скорость в точке M принять равной Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru , то смещение выбранной (рассматриваемой) точки по отношению к точке M за время δt оказывается равной величине:

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

а скорость удаления или приближения к точке М вдоль координатной оси x определяется пределом отношения Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru при δt → 0, т.е.

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Т.о. любая точка частицы будет приближаться или удаляться от точки M вдоль оси x со скоростью, пропорциональной величине Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

Очевидно, что, повторяя аналогичные рассуждения, найдем коэффициенты пропорциональности скоростей смещения по осям y и z в виде множителей.

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Кроме растяжения или сжатия, на скорости удаления выбранной точки от точки M по координате x скажутся деформация сдвига и поворот частицы в пространстве как твердого тела.

Очевидно, что эти добавки скорости пропорциональны быстроте изменения углов δθ и δγ.

Непосредственно из схемы деформации частицы вытекают такие соотношения:

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Выразим углы δγ и δθ

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru (*)

Сами углы δα и δβ найдем, рассматривая вращение граней MN и ML относительно точки M.

Угловые смещения, как известно, равны линейным смещениям, деленным на радиус поворота.

Линейное смещение точки N относительно точки M вдоль оси x за время δt составит величину

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

а угловое – соответственно Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Так же находится угол Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Знак минус здесь поставлен потому, что точка L движется относительно точки M в отрицательном направлении по оси y.

Подставляя найденные значения углов в формулы (*), деля интервал времени δt к нулю, получаем скорости скоса частицы в плоскости xy и вращения ее вокруг оси z, т.е.

Скос Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Вращение Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Знак минус перед Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru z означает вращение частицы вокруг оси z по часовой стрелке, т.к. мы уславливаемся считать положительным направлением вращения против часовой стрелки (от оси x к оси y).

Т.о. скорость смещения любой точки внутри элементарного кубика относительно точки M в направлении оси x оказывается пропорциональна величинам:

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

Мы рассмотрим только деформацию и вращение в плоскости xy.

Легко убедиться, что смещение по оси x вызывается аналогичными превращениями с частицей и в плоскости xz, а в плоскости zy коэффициенты пропорциональности равны нулю.

Поэтому полный набор коэффициентов такой:

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru (**)

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru (***)

Сравним найденные коэффициенты с первой строкой тензора ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )* в формуле (4.8) и сразу увидим, что они тождественно совпадают с его элементами. Причем группа (**) дает верхнюю строку симметричного тензора, а группа (***) – антисимметричную.

Очевидно, что если провести аналогичные рассуждения для отыскания коэффициентов, определяющих смещение точек жидкой частицы относительно ее полюса (точки M) по осям y и z, то получим весь набор элементов тензора ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )*.

При этом первая группа (**) опишет деформационное движение частицы, а вторая группа (***) - вращательное.

Т.о. неоднородность поля скоростей в любой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, обусловлена деформационным и вращательным движением ее частичек, что выражается симметричной и кососимметричной частями тензора ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )*.

Симметричная часть тензора ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )* поэтому называется тензором скоростей деформации и обозначается def Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru , а кососимметричная – вихрем скорости – vort Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru

т.о. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru (4.9)

и с учетом (4.7) получим

Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru (4.10)

Уравнение (4.10) представляет собой важное для гидродинамики утверждение, известное под названием теорема Коши-Гельмгольца:

Движение любой точки жидкой частицы можно рассматривать как результат сложения поступательного движения по траектории вместе с некоторой начальной точкой (точкой M в рассмотренном примере), вращательного движения вокруг оси, проходящей через начальную точку, и деформационного движения, которое, в свою очередь состоит из осевой деформации и деформации сдвига.

Замечание:

1. Теорема Коши-Гельмгольца раскрывает физическое содержание введенного нами тензора Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru .

2. Тензор ( Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ruКинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде) - student2.ru )* можно разложить множеством различных способов. При этом получатся какие-то другие варианты движения жидкой частицы. С математической точки зрения все они одинаково правомерны. Поэтому в теореме говорится «можно рассматривать», а не «следует рассматривать».

В курсе гидродинамики, однако, будем подразумевать категоричное утверждение «следует рассматривать».

Виды движения жидкости

Представим себе, что мы последовательно фотографируем поток жидкости в некоторой области в различные моменты времени.

Если после проявления фотографий будет обнаружено, что они ничем не отличаются одна от другой, то имеем установившееся движение. Т.о. в установившемся времени в каждой точке пространства все параметры (такие как давление, скорость, температура, плотность и др.) движущейся жидкости остаются неизменными.

Если фотографии будут отличаться друг от друга, то имеем неустановившееся движение. При таком движении все параметры жидкости меняются не только от одной точки пространства к другой, но и в каждой точке с течением времени.

Замечание:

Установившееся движение – это предельный случай неустановившегося. Т.е. такое движение к которому придет неустановившееся движение если прекратить изменение внешних воздействий.

Наши рекомендации