Тема 2. Формула полной вероятности

2.1. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникает сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0.8: 0.9; 0.9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

2.2. Два автомата производят одинаковые детали, которые отбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй - 84%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества.

2.3. В пирамиде установлены 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, для винтовки без оптического прицела - 0.8. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень из наудачу взятой винтовки.

2.3. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. Найти вероятность того, что к бензоколонке подъедет проезжающая мимо машина.

2.4. Имеются 3 одинаковые на вид урны. В первой урне 2 белых и 1 черный шар, во 2-й - 3 белых и 1 черный, в 3-й - 2 белых и 2 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

2.5. Батарея состоит из трёх орудий. Производится залп. Найти вероятность того, что два орудия попали в цель, если вероятности попадания первым, вторым и третьим орудием соответственно равны 0.4; 0.3; 0.5.

2.6. В урне 20 шаров, из которых 4 белых. Последовательно вытаскивают 2 шара. Найти вероятность того, что второй шар белый.

2.7. На двух станках обрабатываются одинаковые детали. Вероятность брака для первого станка 0.03, а для второго - 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте, причём деталей с первого станка складывается вдвое больше, чем со второго. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.

2.8. На фабрике машины а,b,c производят соответственно 25, 35, 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4, 2%, 2.9. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие, произведённое на фабрике, дефектно.

2.10. На распределительной базе находятся электролампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом, 40% -вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту - 80. Определить вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта.

2.11. Имеется две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во 2-ю, после чего из второй партии наудачу выбирается изделие. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из 2-й партии.

2.12. Из полного набора костей домино берут одну. Затем берут другую кость. Найти вероятность того, что её можно приставить к первой.

2.13. В двух урнах находится соответственно 4 и 8 белых и 6 и 12 чёрных шаров. Из каждой урны наугад извлекается один шар, а затем из этих двух шаров наудачу берётся один. Какова вероятность, что этот шар белый.

2.14. В тире имеется 5 ружей, вероятность попадания из которых: 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт одно из ружей наудачу.

2.15. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытаний одна. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 3/5 деталей бракованных, а в двух других все доброкачественные.

2.16. С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго -35%, ас третьего - 25% деталей. Среди деталей первого автомата 0.2% бракованных, второго - 0.3%, третьего - 0.5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

2.17. Известно, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Какова вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)

2.18. Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, с вероятностями 0.09; 0.16; 0.25; 0.25; 0.16; 0.09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно 0.2; 0.3; 0.4; 0.4; 0.3; 0.2. Определить вероятность получения первосортной продукции.

2.19. Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и "тире". Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений "точка", превращаясь в "тире", и 1/3 сообщений "тире", превращаясь в "точку". Известно, что среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в соотношении 5:3. Определить вероятность того, что принят сигнал "точка".

2.20. Имеется две партии деталей, причём известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой - 1/4 деталей недоброкачественные. Определить вероятность того, что деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной.

2.21. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в 9 находится по 2 чёрных и по 2 белых шара, а в одной 5 белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлекли шар. Какова вероятность того, что этот шар белый.

2.22. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля принимает годной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную с вероятностью 0.05. Найти вероятность того, что изделие при контроле признают годным.

2.23. Из партии изделий наудачу взято одно изделие. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какова вероятность того, что изделие оказалось бракованным.

2.24. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из урны извлечен наудачу один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны любые предположения о первоначальном состоянии шаров.

2.25. Некто, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятность выхода из леса за час для различных дорог, соответственно равна: 0.6; 0.3; 0.2; 0.1; 0.1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся вышел из леса, если дорогу он выбирает случайным образом.

2.26. В пирамиде установлено 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт одни выстрел из наудачу взятой винтовки.

2.27. В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2 и 18 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества, равна 0.9, для деталей заводов №2 и №3 эти вероятности соответственно равны 0.6 и 0.9. Найти вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.

2.28. В спец.больницу поступает в среднем 50% больных болезнью К, 30% болезнью L, 20% - М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.7; L - 0.8; М - 0.9. Какова вероятность того, что поступивший в больницу больной будет выписан здоровым.

2.29. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность поражения мишени для первого стрелка - 0.6; для второго - 0.5; для третьего - 0.4. Найти вероятность того, что в мишени будет ровно две пробоины.

2.30. Один из трёх стрелков вызывается на линию огня. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка - 0.3; для второго - 0.6; для третьего - 0.8. Вызванный стрелок производит один выстрел. Найти вероятность того, что он промахнётся.