Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Задача 21–40.Даны координаты вершин треугольника АВС.

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В (в радианах с точностью до двух знаков);

4) уравнение высоты СD и ее длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно стороне АВ.

21. А(-7;4); В(5;-5); С(3;9). 22. А(0;3); В(12;-6); С(10;8).
23.А(-5;9); В(7;0); С(5;14). 24.А(4;1); В(16;-8); С(14;6).
25.А(-3;10); В(9;1); С(7;15). 26.А(-4;12); В(8;3); С(6;17).
27.А(-6;8); В(6;-1); С(4;13). 28.А(3;6); В(15;-3); С(13;11).
29.А(-10;5); В(2;-4); С(0;10). 30.А(-2;7); В(10;-2); С(8;12).
31.А(-1;4); В(11;-5); С(15;17). 32.А(2;5); В(14;-4); С(18;18).
33.А(-4;10); В(8;1); С(12;23). 34.А(1;0); В(13;-9); С(17;13).
35.А(-9;6); В(3;-3); С(7;19). 36.А(0;2); В(12;-7); С(16;15).
37.А(- 8;-3); В (4;-12);С(8;10). 38.А(-5; 7);В (7; -2); С(11; 20).
39.А(-12;-1);В(0;-10); С(4;12). 40.А (-10; 9); В (2; 0);С (6; 22).

Решение типового примера

А(0; 1), В(6; 4), С(3; 5) – координаты вершин треугольника АВС.

1. Длину стороны АВ найдем как расстояние между точками Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

2. Уравнение прямой, проходящей через точки Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru и Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , найдем по формуле Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;

АВ: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru –уравнение АВ. Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

ВС: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru – уравнение ВС . Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

3.Тангенс угла α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны K1 и K2, вычисляется по формуле Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Искомый угол В образован прямыми АВ и АС: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , или Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru рад.

4. Высота Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , следовательно ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности двух прямых:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Тогда уравнение СD будет иметь следующий вид:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Длину высоты СD найдем как расстояние от точки С до прямой АВ, используя формулу расстояния от точки Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru до прямой Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . Уравнение АВ: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; С(3;5); тогда Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

5. Точка Е является серединой отрезка ВС:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . E(4,5;4,5).

AE: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru – уравнение АЕ.

Для того, чтобы найти точку K пересечения медианы АЕ и высоты СД решим систему уравнений: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru

x=3,6 y=3,8. Точка K(3,6;3,8).

6.Прямая, параллельная АВ, будет иметь угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту АВ: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . Тогда уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно АВ, будет иметь такой вид:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru или Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Задачи 41–60. Даны координаты точек А, ВиС.

Требу­ется:

1) составить канонические уравнения прямой АВ;

2) соста­витьуравнение плоскости Р, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ;

3) найтиточку пересечения этой плоскости с пря­мой АВ;

4) найти расстояние от точки В до плоскости Р.

61. А(3;-1; 5); В(7; 1; 1); С(4;-2; 1).
62. А(-1; 2; 3); В(3; 4; -1); С(0; 1; -1).
63. А (2; -3; 7); В(6; -1; 3); С(3; -4; 3).
64. А(0; -2; 6); В(4; 0; 2); С(1;-3; 2).
65. А(-3; 1; 2); В(1; 3; -2); С(-2; 0; -2).
66. А(-2; 3; 1); В(2; 5; -3); С(-1; 2; -3).
67. А(-4; 0; 8); В(0; 2; 4); С(-3; -1; 4).
68. А(1- 4; 0); В(5; 6; -4); С(2; 3; -4)
69. А(4; -4; 9); В(8;-2; 5); С(5; -5; 5).
70. А(5; 5; 4); В(9; 7; 0); С(6; 4; 0).
71. А(-3; -2; -4); В(-4; 2; -7); С(5; 0; 3).
72. А(2; -2; 1); В (-3; 0; -5); С(0; -2; -1).
73. А (5; 4; 1); В(-1; -2; -2); С(3; -2; 2).
74. А(3; 6; -2); В(0; 2; -3); С(1; -2; 0).
75. А(1; -4; 1); В(4; 4; 0); С(-1; 2; -4).
76. А (4; 6; -1); В(7; 2; 4); С(-2; 0; -4).
77. А(0; 6; -5); В(8; 2; 5); С(2; 6; —3).
78. А(-2; 4; -6); В(0; -6; 1); С (4; 2; 1).
79. А(-4;-2;-5); В(1; 8;-5); С (0; 4;- 4).
80. А(3; 4;-1); В(2;-4; 2); С(5; 6; 0).


Решение типового примера

Пусть А(4;-1;-3), В(2;-3;-2), С(-3;2;3).

1. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют следующий вид:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,

где х , у , z– координаты точки, через которую проходит прямая;

m, n, p–координаты направляющего вектора этой прямой; в данном случае это будут координаты вектора Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . Тогда уравнения прямой Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru

2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М(х,y,z), перпендикулярно данному вектору Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru (A,B,C):

А(х-х0 )+В(у-у0 )+С(z-z0 )=0.

Тогда уравнение плоскости Р: -2(х+3)-2(у-2)+(z-3)=0.

После упрощения: -2х-2у+z -5=0 или 2х+2у-z +5=0.

3. Для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости,

нужно уравнения прямой представить в параметрическом виде:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , где t –параметр.

Уравнение АВ в параметрическом виде: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Подставим эти значения в уравнение плоскости Р: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . Тогда Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , т.е. точка пересечения М прямой АВ и плоскости Р имеет координаты: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

4. Расстояние от точки Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru до плоскости Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru вычисляем по формуле: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Найдем расстояние от точки А до плоскости Р: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В МАтематический анализ

Функции одной переменной

Для успешного усвоения этой темы необходимо разобраться в фундаментальном понятии математического анализа – понятии функции, изучить способы задания функции, свойства основных элементарных функций. При исследовании и анализе поведения функций не обойтись без понятий предела функции, бесконечно малой величины, ограниченной и непрерывной функций. Теоремы о пределах, замечательные пределы играют особую роль при решении задач по этой теме.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ И САМОПРОВЕРКИ

1. Множество действительных чисел. Функция, бластьопределения функции, способы задания функции.

2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3. Сложные и обратные функции, их графики.

4. Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы о преде-лах. Замечательные пределы.

5. Пределы монотонных функций.

6. Непрерывность функций в точке, на интервале.

7. Непрерывность основных элементарных функций.

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.

9. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Задачи 61–80.Найти пределы заданных функций.

61. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;  
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
62. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;  
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
63. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
64. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
65. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
66. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
67. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
  б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;   в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
    68. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
  б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
69. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
70. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
71. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
72. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
73. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
  74. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,     при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
75. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
76. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
77. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
78. a) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
79. a) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .
80. а) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ,   при Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;
  б) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ;   в) Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Решение типовых примеров

П р и м е р ы. Найти указанные пределы:

1. Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

2. Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

При подстановке предельного значения х=-1 получим неопределенность вида Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . Для раскрытия неопределенности в данном случае разложим числитель и знаменатель дроби на линейные множители по формуле: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru , где х1 и х2 –корни квадратного трехчлена Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Следовательно: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

3. Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru Для раскрытия неопределенности Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru

разделим числитель и знаменатель дроби на переменную в старшей степени, т.е. на х2:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

4. Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . В данном случае неопределенность вида Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru раскрываем с использованием первого замечательного предела и его следствия: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru ; Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

5. Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru . Для раскрытия данного вида неопределенности нужно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю:

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru

= Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Необходимо знать формулу: Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - student2.ru .

Наши рекомендации