Сложение и вычитание матриц.

Сложение и вычитание матриц.

Суммой A+B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется матрица Cm×n=(cij), где cij=aij+bij для всех i=1,mи j=1,n.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью A−B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется матрица Cm×n=(cij), где cij=aij−bij для всех i=1,m и j=1,n.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы Am×n=(aij) на число α называется матрица Bm×n=(bij), где bij=α⋅aijдля всех i=1,m¯¯¯¯¯¯¯¯ и j=1,n¯¯¯¯¯¯¯.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы Am×n=(aij) на матрицу Bn×k=(bij) называется матрица Cm×k=(cij), для которой каждый элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы Aна элементы j-го столбца матрицы B:

Вопрос 2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.

Определитель матрицы - это число, характеризующее матрицу (параметр). Для каждой квадратной матрицы можно рассчитать число по ее элементам по определенной формуле, которое будет ее характеризовать.

I. Определитель матрицы первого порядка

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент а11:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

II. Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Например, пусть

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

III. Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Решение.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Определитель матрица, которого более высокого порядка лучше всего находить через приведение к треугольному виду матрицы.

Вопрос 3. Обратная матрица. Элементарные преобразования.

Для применения этого метода в одну матрицу записывают заданную матрицу A и единичную матрицу E, т.е. составляют матрицу вида (A|E) (эту матрицу называют также расширенной).

К элементарным преобразованиям в данной ситуации относят такие действия:

1. Смена мест двух строк.

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Пример

Найти матрицу A−1, если

Решение

В этом примере будет найдена обратная матрица методом Гаусса. Расширенная матрица, имеющая в общем случае вид (A|E), в данном примере примет такую форму:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Вопрос 6. Метод Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Вернемся к нашей системе Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Рассмотрим первое уравнение системы Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и подставим в него уже известное значение «игрек»:
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Ответ: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Задание. Проверить, являются ли функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru эквивалентными бесконечно малыми при Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Решение. Проверим вначале, что данные функции являютсябесконечно малыми функциями в точке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru :

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Найдем предел отношения этих функций:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Ответ. Заданные функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru являются эквивалентными бесконечно малыми.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .Тогда f(x)=b+α(x)и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Пример. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Доказательство. Пусть Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . Следовательно, f(x)=b+α(x) иg(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Пример. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Доказательство. Пусть Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Дробь Сложение и вычитание матриц. - student2.ru является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c2≠0.

Примеры.

  1. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .
  2. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .
  3. Рассмотрим Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , т.е. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru есть бесконечно малая функция при x→1, то Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) иv(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x)стремится к тому же пределу, т.е. если

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , то Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0, тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→a, что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента xудовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , то имеет место неравенство b≥c.

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0, следовательно, по теореме 5 Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , или Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Пример

Задание. Исследовать на непрерывность функцию Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Решение. Функция Сложение и вычитание матриц. - student2.ru определена в любой точке из Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . Найдем приращение заданной функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru произвольной точке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru :

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Тогда

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

А тогда делаем вывод, что функция Сложение и вычитание матриц. - student2.ru является непрерывной.

Ответ. Функция Сложение и вычитание матриц. - student2.ru является непрерывной.

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Производная сложной функции:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru на отрезке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Решение. Находим производную функции:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Таким образом,

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Ответ. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение Сложение и вычитание матриц. - student2.ru :

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Так как на промежутке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru вторая производная Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , то на этом промежутке функция Сложение и вычитание матриц. - student2.ru выпукла; в силу того, что на промежутке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru вторая производная Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - функция вогнута. Так как при переходе через точку Сложение и вычитание матриц. - student2.ru вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - точка перегиба графика функции.

На промежутке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru функция выпукла, на промежутке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru функция вогнута.

Определение

Прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru называется вертикальной асимптотой графика функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , если хотя бы одно из предельных значений Сложение и вычитание матриц. - student2.ru или Сложение и вычитание матриц. - student2.ru равно Сложение и вычитание матриц. - student2.ru или Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Замечание. Прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru называется горизонтальной асимптотой графика функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , если хотя бы одно из предельных значений Сложение и вычитание матриц. - student2.ru или Сложение и вычитание матриц. - student2.ru равно Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru называется наклонной асимптотой графика функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , если Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Замечание

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru существуют пределы Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , то функция имеет наклонную асимптоту Сложение и вычитание матриц. - student2.ru при Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Задание. Найти асимптоты графика функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Решение. Область определения функции:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

а) вертикальные асимптоты: прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - вертикальная асимптота, так как

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты Сложение и вычитание матриц. - student2.ru :

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Таким образом, наклонная асимптота: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Ответ. Вертикальная асимптота - прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Наклонная асимптота - прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Замечание

Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика.

Замечание

Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Замечание

Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.

Задание. Исследовать функцию Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

2) Четность, нечетность.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью Сложение и вычитание матриц. - student2.ru :

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

то есть точки Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

б) с осью Сложение и вычитание матриц. - student2.ru : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

то есть прямая Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты Сложение и вычитание матриц. - student2.ru :

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru для любого Сложение и вычитание матриц. - student2.ru из области определения функции; Сложение и вычитание матриц. - student2.ru не существует при Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Таким образом, функция убывает на всей области существования.Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru ; при Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru вторая производная не существует.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Таким образом, на промежутках Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru функция вогнута, а на промежутках Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - выпукла. Так как при переходе через точку Сложение и вычитание матриц. - student2.ru вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Функция Сложение и вычитание матриц. - student2.ru является первообразной для функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , так как

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Совокупность всех первообразных функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и обозначается символом Сложение и вычитание матриц. - student2.ru . То есть

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Знак Сложение и вычитание матриц. - student2.ru называется интегралом, Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - подынтегральным выражением, Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - подынтегральной функцией, а Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - переменной интегрирования.

Пример

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

6. Если Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , то и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , где функция Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - произвольная функция с непрерывной производной.

Пример

Известно, что Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , а тогда

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Основные формулы

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Замечание

После нахождения интеграла по новой переменной Сложение и вычитание матриц. - student2.ru необходимо вернуться к первоначальной переменной Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Замечание

В некоторых случаях целесообразно делать подстановку Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , тогда

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Пример

Задание. Найти интеграл Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Решение. Сделаем замену переменной: Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Ответ. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1) Сложение и вычитание матриц. - student2.ru ; Сложение и вычитание матриц. - student2.ru ; Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Здесь Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - многочлен степени Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - некоторая константа. В данном случае в качестве функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru берется многочлен, а в качестве Сложение и вычитание матриц. - student2.ru - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется Сложение и вычитание матриц. - student2.ru раз.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Решение. В исходном интеграле выделим функции Сложение и вычитание матриц. - student2.ru и Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , затем выполним интегрирование по частям.

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Ответ. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Вопрос 28. Основные понятия теории вероятностей.

Испытанием в теории вероятностей называют какой-нибудь эксперимент (не обязательно научный). Например, подбросили монетку — испытание. Вытянули лотерейный билет — испытание. Провели жеребьёвку спортивного соревнования — тоже испытание.

Если есть эксперимент, есть и возможные результаты — то, чем он может закончиться. Список возможных результатов можно составлять по-разному, но стандартный способ — выбрать максимальное дробление результатов. Например, при бросании кубика можно сказать, что есть два результата: {выпало 66} и {выпало не 66}, — но это не очень удобно, так как второй результат можно раздробить на более мелкие. Составляя список возможных результатов, мы должны также помнить, что два результата никогда не могут случиться одновременно (условие взаимоисключения).

Испытанием называется эксперимент с очерченным набором возможных взаимоисключающих результатов. Эти результаты называются исходами.

Случайное событие — это подмножество множества исходов испытания.

Любое случайное событие может состоять из одного или нескольких исходов испытания (тогда это событие возможно) или не содержать ни одного исхода (невозможное событие). Например, "выпало больше 77" — невозможное событие для испытания "бросание кубика". Отдельно определяют достоверное событие, то есть такое, которое включает в себя все исходы данного испытания.

Исходы, входящие в событие, называются благоприятными для этого события.

Итак, пусть у нас есть испытание с определённым набором равновозможных исходов. Вероятностью некоторого случайного события называется отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов испытания.


Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Свойства м(х)

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. М(С) = С, С = const.

С имеет одно значение, равноеС,с вероятностьюp = 1,М(С)=С .1 = С.

Определим произведение постоянной СнаХкак дискретную случайную величину Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , возможные значения которой равны произведениямСна возможные значенияХ. Вероятность Сложение и вычитание матриц. - student2.ru равна вероятностямХ. Например, если Сложение и вычитание матриц. - student2.ru имеет вероятность Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , то Сложение и вычитание матриц. - student2.ru имеет также вероятность Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

2. М(СХ) = С . М(Х) – константу можно выносить за знак математического ожидания. Пусть случайная дискретная величинаX задана законом распределения:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Тогда Сложение и вычитание матриц. - student2.ru имеет закон распределения:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Случайные величины XиYназываютнезависимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая.

Произведение Сложение и вычитание матриц. - student2.ru – случайная величинаXY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значенияХна каждое возможное значениеY. ВероятностиXY равны произведению соответствующих вероятностейXиY.

3. Сложение и вычитание матриц. - student2.ru , гдеX,Y– независимые дискретные случайные величины.

Пусть законы распределения вероятностей этих величин:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru     Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru     Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Составим значения, которые могут принимать Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Закон распределения:

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru
Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

Сложение и вычитание матриц. - student2.ru

4. M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Возможные значения случайной величины X+Yравна сумме возможных значенийXиY, а вероятностьX+Yравна произведению вероятностей слагаемых.

Теорема.М(Х) числа появлений событийАвnнезависимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытанииp.

Иначе, М(Х) биноминального распределения равно Сложение и вычитание матриц. - student2.ru .

Сложение и вычитание матриц.

Суммой A+B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется матрица Cm×n=(cij), где cij=aij+bij для всех i=1,mи j=1,n.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью A−B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется матрица Cm×n=(cij), где cij=aij−bij для всех i=1,m и j=1,n.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы Am×n=(aij) на число α называется матрица Bm×n=(bij), где bij=α⋅aijдля всех i=1,m¯¯¯¯¯¯¯¯ и j=1,n¯¯¯¯¯¯¯.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы Am×n=(aij) на матрицу Bn×k=(bij) называется матрица Cm×k=(cij), для которой каждый элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы Aна элементы j-го столбца матрицы B:

Наши рекомендации